Вы здесь

Приближенные вычисления

О приближенных вычислениях

Числа, с которыми мы имеем дело в жизни, бывают двух типов. Одни в точности дают истинную величину, другие — только приблизительно. Первые называют точными, вторые -приближенными. Часто мы сознательно берем приближенное число вместо точного, так как последнее нам не требуется. Во многих же случаях точное число невозможно найти по сути
вопроса.

Пример 1. В этой книге 512 страниц; число 512 — точное.

Пример 2. В шестиугольнике 9 диагоналей; число 9 — точное.

Пример 3. Продавец взвесил на автоматических весах 50 г масла. Число 50 — приближенное, ток
как весы нечувствительны к увеличению или уменьшению веса на 0,5 г.

Пример 4. Расстояние от станции Москва до станции Санкт-Петербург Октябрьской ж. д. составляет 651 км. Число 651 — приближенное, так как, с одной стороны, наши измерительные инструменты неточны, с другой же стороны, сами станции имеют некоторое протяжение.

Результат действий с приближенными числами есть тоже приближенное число. При этом неточными могут оказаться и те цифры, которые получены действиями над точными цифрами данных чисел.

Пример 5. Перемножаются приближенные числа 60,2 и 80,1. Известно, что все выписанные цифры
верны, так что истинные величины могут отличаться от приближенных лишь сотыми, тысячными и т. д. долями. В произведении получаем 4822,02. Здесь могут быть неверными не только цифры сотых и десятых, но и цифры единиц. Пусть, например, сомножители получены округлением точных чисел 60,25 и 80,14. Тогда точное произведение будет 4828,435, так что цифра единиц в приближенном произведении (2) отличается от точной цифры (8) на 6 единиц.

Теория приближенных вычислений позволяет:

1) зная степень точности данных, оценить степень точности результатов еще до выполнения действий;

2) брать данные с надлежащей степенью точности, достаточной, чтобы обеспечить требуемую точность результата, но не слишком большой, чтобы избавить вычислителя от бесполезных расчетов;

3) рационализировать сам процесс вычисления, освободив его от тех выкладок, которые не окажут влияния на точные цифры результата.

 

Способ записи приближенных чисел

При приближенных вычислениях отличают запись 2,4 от 2,40, запись 0,02 от 0,0200 и т. д. Запись
2,4 означает, что верны только цифры целых и десятых; истинное же значение числа может быть, например, 2,43 или 2,38 (при отбрасывании цифры 8 происходит округление в сторону увеличения предшествующей ей цифры; см. следующий параграф). Запись 2,40 означает, что верны и сотые доли; истинное число может быть 2,403 или 2,398, но не 2,421 и не 2,382.

То же отличие проводится и для целых чисел. Запись 382 означает, что все цифры верны; если же за последнюю цифру ручаться нельзя, то число округляется, но записывается не в виде 380, а в виде 38 • 10. Запись же 380 означает, что последняя цифра (0) верна. Если в числе 4720 верны лишь первые две цифры, его нужно записать в виде 47 • 102; это число можно также записать в виде 4,7 • 103 и. т. д.

Значащими цифрами называются все верные цифры числа кроме нулей, стоящих впереди числа. Например, в числе 0,00385 три значащие цифры; в числе 0,03085 четыре значащие цифры; в числе 2500 — четыре; в числе 2,5 • 103 — две. Число значащих цифр некоторого числа называется его значностью.

 

Предмет: