Вы здесь

Сложение, вычитание и умножение десятичных дробей

Сложение, вычитание и умножение десятичных дробей

Сложение и вычитание десятичных дробей выполняются так же, как сложение и вычитание целых чисел; нужно   только записывать каждый разряд под   разрядом того же наименования.

Пример. 2,3 + 0,02 + 14,96= 17,28.

Умножение десятичных дробей. Перемножаем данные числа как целые, не обращая внимания на запятую. Затем ставим в результате запятую, пользуясь следующим правилом: в произведении число знаков после запятой равно сумме чисел знаков после запятой во всех сомножителях.

Пример 1.          2,064 • 0,05. Перемножаем целые числа 2064 • 5 = 10 320. В первом сомножителе было три знака после запятой, во втором — два. В произведении число знаков после запятой должно быть пять.
Отделяем их справа; получаем 0,10320. Нуль, стоящий в конце дроби, можно отбросить: 2,064 · 0,05 =- 0,1032.

До постановки запятой отбрасывать нули при этом способе нельзя.

Пример 2. 1,125 • 0,08; 1125 • 8 = 9000. Число
знаков после запятой должно быть 3 + 2 = 5. Приписывая к 9000 нули слева (009000), отделяем справа пять знаков. Получаем 0,09000 = 0,09.

 

                                         Деление десятичной дроби на целое число

Если делимое меньше делителя, записываем в целой части частного нуль и ставим после него запятую. Затем, не обращая внимания на запятую, присоединяем к целой части делимого первую цифру его дробной части; если получается число, меньшее делителя, ставим после запятой нуль и присоединяем еще одну цифру делимого; если и после этого получаем число, меньшее делителя, ставим еще нуль и т. д., пока не получим числа, превосходящего делитель. В дальнейшем деление совершается так же, как с целыми числами, причем делимое можно неограниченно «расширять» вправо от запятой, приписывая в конце нули.

Замечание. Возможно, что описанный процесс деления никогда не закончится. В таком случае
частное нельзя точно выразить десятичной дробью, но, остановившись на некоторой цифре, получим приближенный результат.

 

                 Обращение десятичной дроби в простую и обратно

Чтобы обратить десятичную дробь в простую, нужно, отбросив запятую, сделать получившееся
число числителем дроби; знаменателем же нужно взять число, показывающее, какие доли представляет последний десятичный знак. Полученную дробь желательно сократить, если это возможно.

Если десятичная дробь превосходит единицу, то предпочтительно обращать в простую дробь только ту ее часть, которая стоит после запятой, целую же часть оставить без изменения.

Пример:   0,0125 обратить в простую дробь.
Последний десятичный знак представляет десятитысячные доли. Поэтому знаменатель будет 10 000 имеем   Сложение, вычитание и умножение десятичных дробей   

Пример:    Сложение, вычитание и умножение десятичных дробей

Предпочтительно, однако, производить вычисление первым из двух указанных способов, т. е., оставляя без изменения двойку, стоящую слева от запятой, обращать в простую дробь число 0,75.

Пример:  дробь  Сложение, вычитание и умножение десятичных дробей обратить в десятичную. Делим 7:8 получаем 0,875.

В большинстве случаев этот процесс деления может продолжаться бесконечно. Тогда простая дробь не может быть обращена в десятичную точно. На практике этого никогда и не требуется. Деление заканчивают в тот момент, когда в частном получены все те десятичные доли, которые имеют практический интерес.

Пример: Требуется разделить 1 кг сахара на три равные части Масса каждой части Сложение, вычитание и умножение десятичных дробей . Чтобы взвесить это количество, нужно выразить его в десятичных долях килограмма. Делим 1 на 3, получим 1:3=0.333……. Деление можно продолжать до бесконечности в частном будут появляться все новые тройки. Практический интерес имеют лишь сотые доли килограмма (10 г). Поэтому берем   

Для большей точности принято учитывать величину первой отбрасываемой цифры. Если она превышает 5, то удерживаемая цифра увеличивается на 1

Пример:  Обратить дробь Сложение, вычитание и умножение десятичных дробей   в десятичную. Точное значение будет 0,21875. В зависимости от требуемой степени точности, деление заканчивается на второй, третьей и т.д. цифре частного и берут  

 

                           Исторические сведения о дробях

Понятие о дроби могло возникнуть у людей лишь после того, как у них образовались некоторые представления о целых числах. Как и понятие целого числа, понятие дроби появилось не сразу. Представление о «половине» возникло гораздо раньше, чем о «третях» и «четвертях», а об этих последних— раньше, чем о дробях с другими знаменателями Первые представления о пелом число возникли в процессе счета; первые представления о дробях — и г; процесса измерения (длин, площадей, массы и т. д.). Следы исторической связи исчисления дробей и системы мер можно обнаружить у многих народов. Так, в вавилонской системе мер массы (и денег) 1 талант составлял 60 мин, а одна мина — 60 шекелей. Соответственно с этим в вавилонской математике широко применялись шестидесятеричные дроби. В древнеримской системе измерения массы 1 асе делился на 12 унций; согласно с этим римляне пользовались двенадцатеричными дробями. Дробь, которую мы называем 1/12 , римляне именовали «унцией», даже если бы она употреблялась для измерения длины или иной величины; дробь, которую мы называем 1/8 , римляне называли «полторы унции» и т. п.

Наши «обыкновенные дроби» широко употреблялись древними греками и индийцами. Правила действий с дробями, изложенные индийским ученым Брамагуптой (8 в. н. э.), лишь немногим отличаются от наших. Наша запись дробей тоже совпадает с индийской; только дробной черты индийцы не писали; греки записывали сверху знаменатель, а снизу числитель, но чаще пользовались другими записями, например писали (конечно, своими знаками) 3 5х (три пятых).

Индийское обозначение дробей и правила действий над ними были усвоены в 9 веке в мусульманских странах благодаря Мухаммеду Хорезмскому (аль-Хваризми,. Они были перенесены в Западную Европу итальянским купцом и ученым Леонардо Фибоначчи иг Пизы (13 в.)

Наряду с «обыкновенными» дробями применялись (преимущественно в астрономии) шестидесятеричные дроби. Они были позднее вытеснены десятичными дробями. Последние впервые ввел выдающийся самаркандский ученый Гиясэддин Джемшид г Каши (14—15 вв.). В Европе десятичные дроби были введены в практику нидерландским купцом и выдающимся
ученым-инженером Симоном Стевином (1548—1620).

Предмет: