Многочлены. Стандартный вид, сложение и вычитание многочленов

Многочлен (полином) — сумма одночленов.

Определение: многочленом называют алгебраическую сумму нескольких одночленов:

Примеры многочленов:

• 2x² - 3x + 5;

• a³ - b³;

• 4xy - 5x + 7y - 1.

Классификация по числу слагаемых:

• Одночлен — частный случай многочлена, состоящий из одного слагаемого;

• Двучлен (бином) — многочлен из двух слагаемых: a + b, x² - 4;

• Трехчлен (трином) — многочлен из трех слагаемых: ax² + bx + c.

Степень многочлена:

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов.

Пример: рассмотрим многочлен 3x²y³ - 5x⁴y² + 7x - 9.

Степени его членов: у 3x²y³ степень 2+3=5; у -5x⁴y² степень 4+2=6; у 7x степень 1; у -9 степень 0.

Наибольшая степень равна 6, значит, степень данного многочлена равна 6.

Если многочлен содержит подобные одночлены, его можно существенно упростить.

Определение: многочлен приведен к стандартному виду, если все входящие в него одночлены записаны в стандартном виде и среди них нет ни одной пары подобных слагаемых.

Алгоритм приведения многочлена к стандартному виду:

1. Найти и выделить (одинаковым подчеркиванием) подобные слагаемые — члены с одинаковой буквенной частью;

2. Сложить их числовые коэффициенты по правилу приведения подобных членов;

3. Расположить полученные слагаемые по убыванию степеней главной переменной.

Пример:

Привести к стандартному виду: 4x³ - 2x² + 5x - x³ + 7x² - 8 + 3.

Группируем подобные:

• Члены с x³: 4x³ - x³ = 3x³;

• Члены с x²: -2x² + 7x² = 5x²;

• Члены с x: 5x;

• Свободные числа: -8 + 3 = -5.

Итоговый многочлен стандартного вида: 3x³ + 5x² + 5x - 5. Степень многочлена равна 3.

Сложение и вычитание многочленов основано на правилах раскрытия скобок, перед которыми стоит знак плюс или минус.

1. Правило знака «плюс» перед скобками:

Если перед скобками стоит знак плюс (+), скобки можно опустить, сохранив знаки всех слагаемых внутри скобок без изменения:

2. Правило знака «минус» перед скобками:

Если перед скобками стоит знак минус (-), скобки опускают, а знаки ВСЕХ слагаемых, стоявших внутри скобок, заменяют на прямо противоположные:

Пример вычитания многочленов:

Вычесть из многочлена (5x² - 3x + 7) многочлен (2x² + 4x - 1):

Приводим подобные:

Многочлен можно рассматривать как функцию от входящих в него переменных.

Чтобы вычислить числовое значение многочлена при заданных значениях переменных, необходимо:

1. Подставить указанные числовые значения вместо соответствующих букв;

2. Выполнить арифметические действия в строгом приоритетном порядке:

• Возведение в степень;

• Умножение и деление;

• Сложение и вычитание.

Рекомендация: перед подстановкой чисел многочлен следует максимально упростить (привести подобные члены) — это в разы сокращает объем вычислений!

Пример: найти значение многочлена P(x) = 3x³ - 5x² + 2x - 7 при x = -2.

Подставляем x = -2:

= 3 · (-8) - 5 · (4) - 4 - 7

= -24 - 20 - 4 - 7 = -55.

Тождество — равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных (например, a + b = b + a, x² - y² = (x - y)(x + y)).

Тождественные преобразования — замена одного алгебраического выражения другим, тождественно равным ему на всей области допустимых значений.

Три классических способа доказательства тождеств:

1. Преобразовать левую часть равенства с помощью свойств действий и получить правую часть;

2. Преобразовать правую часть равенства и получить левую часть;

3. Составить разность левой и правой частей (L - R) и доказать, что после упрощения она тождественно равна нулю: L - R = 0.

Пример: доказать тождество (x - 1)(x + 2) - x(x + 1) = -2.

Преобразуем левую часть:

Получили: -2 = -2. Тождество доказано!