Куб суммы и разности. Сумма и разность кубов. Способ группировки

Формулы куба двучлена связывают третью степень суммы и разности с полиномами третьей степени.

1. Куб суммы двух выражений:

Словесно: куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения, плюс утроенное произведение квадрата первого на второе, плюс утроенное произведение первого на квадрат второго, плюс куб второго выражения.

Компактная форма: (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b).

2. Куб разности двух выражений:

Знаки в формуле строго чередуются: плюс, минус, плюс, минус (+ - + -).

Компактная форма: (a - b)³ = a³ - b³ - 3ab(a - b).

Примеры:

1. (x + 2)³ = x³ + 3 · x² · 2 + 3 · x · 2² + 2³ = x³ + 6x² + 12x + 8;

2. (2a - 1)³ = (2a)³ - 3 · (2a)² · 1 + 3 · (2a) · 1² - 1³ = 8a³ - 12a² + 6a - 1.

Формулы суммы и разности кубов служат для разложения двучленов третьей степени на множители.

1. Сумма кубов:

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности:

2. Разность кубов:

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы:

Понятие неполного квадрата:

Выражение a² - ab + b² называют неполным квадратом разности (в отличие от полного квадрата a² - 2ab + b² среднее слагаемое берется БЕЗ удвоения!).

Неполный квадрат суммы или разности не имеет действительных корней и не раскладывается на линейные множители в области действительных чисел.

Примеры:

1. x³ + 8 = x³ + 2³ = (x + 2)(x² - 2x + 4);

2. 27a³ - 1 = (3a)³ - 1³ = (3a - 1)(9a² + 3a + 1);

3. m⁶ - n³ = (m²)³ - n³ = (m² - n)(m⁴ + m²n + n²).

Способ группировки применяется тогда, когда многочлен не имеет общего множителя для всех своих членов одновременно, но слагаемые можно разбить на группы, имеющие общие множители.

Алгоритм способа группировки:

1. Объединить члены многочлена в такие группы (по два или три слагаемых), которые содержат общий множитель;

2. Вынести общий множитель из каждой группы за скобки;

3. Убедиться, что в скобках получился общий многочлен;

4. Вынести полученный общий составной многочлен за скобки как единое целое.

Пример 1: разложить на множители ax + ay + bx + by.

Группируем 1-е со 2-м и 3-е с 4-м:

Пример 2: разложить x³ - 3x² - x + 3.

Группируем:

В сложных примерах применяют комбинацию нескольких методов в строгой последовательности.

Золотое правило факторизации многочленов:

1. Шаг 1: Проверить, есть ли общий множитель у ВСЕХ членов, и если есть — обязательно вынести его первым делом за скобки;

2. Шаг 2: Проверить, не является ли выражение в скобках формулой сокращенного умножения (разность квадратов a² - b², квадрат суммы/разности (a ± b)², сумма/разность кубов a³ ± b³);

3. Шаг 3: Если формул нет — применить способ группировки слагаемых;

4. Шаг 4: Разложить полученные множители дальше до упора (до линейных или неприводимых множителей).

Пример: разложить 3ax² - 12a.

1. Выносим общий множитель 3a: 3a(x² - 4);

2. В скобках разность квадратов: 3a(x - 2)(x + 2).

Пример: разложить x² - 2xy + y² - 9.

1. Первые три члена образуют полный квадрат: (x - y)² - 3²;

2. Применяем разность квадратов: (x - y - 3)(x - y + 3).

Разложение на множители является ключевым инструментом решения уравнений высших степеней на основе правила нулевого произведения.

Теорема о равенстве произведения нулю:

Произведение двух или нескольких сомножителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю, а остальные при этом имеют смысл:

A · B = 0 ⇔ A = 0 или B = 0.

Алгоритм решения уравнений с помощью разложения на множители:

1. Перенести все слагаемые в левую часть уравнения так, чтобы справа остался строго ноль (= 0);

2. Разложить левую часть на множители (вынесением за скобки, группировкой или формулами);

3. Приравнять каждый полученный множитель к нулю;

4. Решить получившиеся простые линейные уравнения и выписать все корни.

Пример: решить уравнение x³ - 4x = 0.

Выносим общий множитель x: x(x² - 4) = 0.

Раскладываем по разности квадратов: x(x - 2)(x + 2) = 0.

Приравниваем множители к нулю: x₁ = 0; x - 2 = 0 → x₂ = 2; x + 2 = 0 → x₃ = -2.

Уравнение имеет три корня: x ∈ {-2; 0; 2}.