ibrain.kz
RUKZ
Предыдущая тема|Следующая: Системы нелинейных уравнений с двумя переменными
Алгебра · 9 класс1 четвертьТема 1ГОСО РК 2026Базовый

Неравенства с двумя переменными и их системы

Линейные и нелинейные неравенства с двумя переменными, геометрическая интерпретация на плоскости и штриховка областей.

Время изучения~75 минтеория + практика
Разделы темы5 разд.пошаговый разбор
Тест темы3 вопр.с мгновенным ответом
СОР / СОЧ1 четвертьдескрипторы ГОСО
Раздел 1 из 5
1

1. Понятие неравенства с двумя переменными и его геометрический смысл

Неравенством с двумя переменными называют соотношение вида f(x, y) > 0 (или < 0, ≥ 0, ≤ 0). Решением такого неравенства является упорядоченная пара чисел (x₀; y₀), которая при подстановке обращает неравенство в верное числовое утверждение. Графически множество всех решений неравенства f(x, y) > 0 представляет собой некоторую область на координатной плоскости Oxy. Границей этой области служит линия, задаваемая уравнением f(x, y) = 0.

f(x, y) > 0

Область на плоскости

Множество точек (x; y), координаты которых удовлетворяют условию неравенства.
f(x, y) = 0

Граничная линия

Разделяет плоскость на части; сплошная линия при ≥/≤, штриховая при >/<.

Строгие и нестрогие знаки

Если неравенство строгое (> или <), граничная линия рисуется пунктиром (точки границы не входят в решение). Если нестрогое (≥ или ≤), граница сплошная.

Шаг 1
Построение границы
Строят график уравнения f(x, y) = 0 (прямую, параболу или окружность).
Шаг 2
Выбор контрольной точки
Берут точку вне границы (чаще всего начало координат (0, 0)).
Шаг 3
Проверка знака и штриховка
Если контрольная точка верна, штрихуют область с ней, иначе — противоположную.
Уравнение границы области
f(x,y)=0;границаразбиваетR2насвязныеобластипостоянногознакаf(x, y) = 0;\quad граница разбивает ℝ^2 на связные области постоянного знака
Раздел 2 из 5
2

2. Линейные неравенства с двумя переменными и полуплоскости

Линейное неравенство с двумя переменными имеет вид ax + by + c > 0 (или < 0, ≥ 0, ≤ 0), где a и b не равны нулю одновременно. Границей области является прямая ax + by + c = 0. Любая прямая делит плоскость на две открытые полуплоскости. В одной из них выполняется ax + by + c > 0, а в другой — ax + by + c < 0. Если выразить y, неравенство y > kx + b задает полуплоскость, лежащую выше прямой, а y < kx + b — полуплоскость ниже прямой.

y > kx + b

Верхняя полуплоскость

Точки лежат строго над граничной прямой.
y < kx + b

Нижняя полуплоскость

Точки лежат строго под граничной прямой.

Тест через начало координат (0,0)

Если прямая не проходит через начало координат, подставьте (0; 0) в неравенство: 0 + 0 + c > 0. Это мгновенно определяет нужную полуплоскость.

Шаг 1
Построение прямой
Находят две опорные точки и проводят прямую.
Шаг 2
Тестирование точки (0, 0)
Подставляют x = 0, y = 0 в неравенство.
Шаг 3
Штриховка полуплоскости
Наносят штриховку на соответствующую сторону от прямой.
Линейная граница полуплоскости
ax+by+c=0  ⟺  y=−(a/b)x−(c/b),приb≠0ax + by + c = 0 \iff y = - (a/b) x - (c/b), при b \neq 0
Раздел 3 из 5
3

3. Нелинейные неравенства: круги, полосы и параболические области

Нелинейные неравенства порождают разнообразные геометрические фигуры. Неравенство (x - x₀)² + (y - y₀)² ≤ R² задает замкнутый круг радиуса R с центром в точке (x₀; y₀), а неравенство > R² — внешность круга. Неравенство y ≥ ax² + bx + c при a > 0 задает область над параболой (включая саму параболу). Неравенство xy > k задает области между ветвями гиперболы.

x² + y² ≤ R²

Круг радиуса R

Множество точек, удаленных от начала координат не более чем на R.
y ≥ x²

Внутренность параболы

Область, расположенная над вогнутой дугой параболы.

Не путайте окружность и круг

Окружность — это одномерная линия границы (равенство = R²). Круг — это двумерная область плоскости (неравенство ≤ R²).

Шаг 1
Идентификация типа фигуры
Определяют центр и радиус круга или вершину параболы.
Шаг 2
Начертание границы
Изображают граничную кривую сплошной или штриховой линией.
Шаг 3
Определение внутренней или внешней зоны
Проверяют центр фигуры на выполнение неравенства.
Уравнение и неравенство круга
(x−a)2+(y−b)2≤R2;центр(a;b),радиусR(x - a)^2 + (y - b)^2 \le R^2;\quad центр (a;\quad b), радиус R
Раздел 4 из 5
4

4. Системы неравенств с двумя переменными и пересечение областей

Система неравенств с двумя переменными объединяет несколько условий, которые должны выполняться одновременно. Решением системы является пересечение геометрических областей, задаваемых каждым из неравенств системы. В результате пересечения полуплоскостей могут образовываться выпуклые многоугольники (треугольники, четырехугольники), полосы, углы, круговые сегменты или пустое множество (если области не пересекаются).

{ f(x, y) ≥ 0, g(x, y) ≥ 0

Система условий

Общая часть нескольких плоских областей.
Выпуклая область

Многоугольная зона

Ограниченная фигура, полученная пересечением полуплоскостей.

Связь с линейным программированием

Нахождение многоугольника решений системы линейных неравенств лежит в основе оптимизационных задач экономики и логистики.

Шаг 1
Построение всех границ
Изображают граничные линии каждого неравенства в одной системе координат.
Шаг 2
Послойная штриховка
Штрихуют области для каждого условия разными направлениями.
Шаг 3
Выделение пересечения
Определяют фигуру с наложением всех слоев штриховки.
Определение области решений системы
Ω=Ω1∩Ω2∩...∩Ωm⊂R2Ω = Ω_1 ∩ Ω_2 ∩ ... ∩ Ω_m ⊂ ℝ^2
Раздел 5 из 5
5

5. Поиск вершин многоугольника решений

Вершины многоугольника решений системы неравенств находятся как точки попарного пересечения граничных прямых. Для этого составляют и решают системы линейных уравнений для каждой пары смежных граничных прямых. Нахождение точных координат вершин необходимо для вычисления площади многоугольника или для поиска максимума/минимума целевой функции на заданной области.

Угловые точки

Вершины области

Точки пересечения граничных прямых системы.
Системы 2х2

Поиск координат

Решение системы уравнений двух пересекающихся линий.

Проверка принадлежности вершине

Обязательно проверьте, удовлетворяют ли найденные координаты вершины остальным неравенствам системы.

Шаг 1
Выбор пары пересекающихся линий
Записывают уравнения смежных сторон многоугольника.
Шаг 2
Решение системы уравнений
Методом подстановки или сложения находят x и y вершины.
Шаг 3
Контроль ограничений
Подставляют вершину в оставшиеся неравенства.
Координаты точки пересечения
{A1x+B1y+C1=0A2x+B2y+C2=0\begin{cases} A_1 x + B_1 y + C_1 = 0 \\ A_2 x + B_2 y + C_2 = 0 \end{cases}
Ваш прогресс по теме25%
Оглавление урока
Шпаргалка формул9 класс
Каноническое уравнение окружности:
(x−a)2+(y−b)2=R2(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2
n-й член арифметической прогрессии:
an=a1+d(n−1)aₙ = a_1 + d(n - 1)
Характеристическое свойство арифм. прогрессии:
aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁) / 2
Сумма n первых членов арифметической прогрессии:
Sn=((a1+an)/2)⋅n=((2a1+(n−1)d)/2)⋅nSₙ = ((a_1 + aₙ) / 2) \cdot n = ((2a_1 + (n - 1)d) / 2) \cdot n
Следующая тема

Системы нелинейных уравнений с двумя переменными

Перейти к теме →