ibrain.kz
RUKZ
Предыдущая тема|Следующая: Тригонометрические функции углов от 0° до 180°
Алгебра · 9 класс3 четвертьТема 7ГОСО РК 2026Базовый

Сумма геометрической прогрессии и бесконечно убывающая прогрессия

Формула суммы первых n членов, условие сходимости |q| < 1, сумма бесконечно убывающей прогрессии и обращение периодических дробей.

Время изучения~75 минтеория + практика
Разделы темы5 разд.пошаговый разбор
Тест темы3 вопр.с мгновенным ответом
СОР / СОЧ3 четвертьдескрипторы ГОСО
Раздел 1 из 5
1

1. Вывод и формула суммы первых n членов геометрической прогрессии

Пусть Sₙ = b₁ + b₁q + b₁q² + ... + b₁qⁿ⁻¹. Умножим обе части этого равенства на q: q · Sₙ = b₁q + b₁q² + ... + b₁qⁿ. Вычтем из второго равенства первое: q · Sₙ - Sₙ = b₁qⁿ - b₁, то есть Sₙ(q - 1) = b₁(qⁿ - 1). При q ≠ 1 разделим на (q - 1) и получим формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии: Sₙ = (b₁(qⁿ - 1)) / (q - 1) = (b₁(1 - qⁿ)) / (1 - q). Если q = 1, все члены равны b₁, и сумма вычисляется тривиально: Sₙ = n · b₁.

Sₙ = b₁(qⁿ - 1)/(q - 1)

Формула суммы

Основная формула суммы n членов при любом q ≠ 1.
q = 1

Особый случай

Все слагаемые одинаковы, сумма равна n · b₁.

Удобство знака при |q| < 1

Если знаменатель q по модулю меньше 1 (например, q = 1/2), удобнее использовать формулу Sₙ = b₁(1 - qⁿ) / (1 - q), чтобы и числитель, и знаменатель были положительными.

Шаг 1
Определение b₁, q и n
Выписывают значения первого члена, знаменателя и количества слагаемых.
Шаг 2
Вычисление qⁿ
Возводят знаменатель q в степень n.
Шаг 3
Подстановка в дробь
Вычисляют числитель b₁(qⁿ - 1) и делят на (q - 1).
Формула суммы первых n членов
Sn=b1(qn−1)q−1=bnq−b1q−1,(q≠1)S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} = \frac{b_n q - b_1}{q - 1}, (q \neq 1)
Раздел 2 из 5
2

2. Понятие бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Геометрическую прогрессию называют бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя строго меньше единицы: |q| < 1 (то есть -1 < q < 1). В такой последовательности члены по абсолютной величине с ростом номера становятся сколь угодно малыми: при n → ∞ величина |bₙ| стремится к нулю. Например, прогрессия 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16... бесконечно убывает, так как q = 1/2 < 1.

|q| < 1

Условие сходимости

Модуль знаменателя строго меньше единицы.
qⁿ → 0 при n → ∞

Предельное свойство

Степень дроби, меньшей 1, стремится к нулю с ростом n.

Апория Зенона «Ахиллес и черепаха»

Древнегреческий философ Зенон считал, что быстрый Ахиллес никогда не догонит черепаху, так как ему надо пройти бесконечное число отрезков пути. Математика прогрессий доказывает: сумма бесконечного числа уменьшающихся слагаемых конечна!

Шаг 1
Нахождение q
Вычисляют q = b₂ / b₁.
Шаг 2
Проверка условия |q| < 1
Сравнивают абсолютную величину с единицей.
Шаг 3
Вывод о бесконечном убывании
Фиксируют применимость формулы суммы бесконечного ряда.
Критерий бесконечного убывания
∣q∣<1  ⟺  −1<q<1,q≠0|q| < 1 \iff -1 < q < 1, q \neq 0
Раздел 3 из 5
3

3. Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Рассмотрим формулу суммы n членов Sₙ = (b₁(1 - qⁿ)) / (1 - q). Так как |q| < 1, при неограниченном росте n слагаемое qⁿ становится пренебрежимо малым и в пределе обращается в ноль (lim qⁿ = 0). Заменяя qⁿ нулем, получают точную формулу суммы всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии: S = b₁ / (1 - q). Эта конечная сумма S является пределом частичных сумм Sₙ при n → ∞.

S = b₁ / (1 - q)

Сумма бесконечной прогрессии

Конечный предел бесконечной суммы слагаемых при |q| < 1.
Конечный результат

Парадокс бесконечности

Бесконечное число слагаемых дает точное конечное число.

Неприменимость при |q| ≥ 1

Формула S = b₁ / (1 - q) категорически неприменима, если |q| ≥ 1! Например, для ряда 1 + 2 + 4 + 8... сумма бесконечна.

Шаг 1
Выделение b₁
Фиксируют значение первого слагаемого суммы.
Шаг 2
Вычисление (1 - q)
Находят разность между единицей и знаменателем прогрессии.
Шаг 3
Деление b₁ на (1 - q)
Получают итоговое числовое значение бесконечной суммы.
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии
S=b11−q,при∣q∣<1S = \frac{b_1}{1 - q}, при |q| < 1
Раздел 4 из 5
4

4. Обращение бесконечных периодических дробей в обыкновенные

Бесконечную десятичную периодическую дробь можно представить как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии и тем самым обратить её в токновенную несократимую дробь. Например, 0.(3) = 0.3 + 0.03 + 0.003 + ... — это сумма геометрической прогрессии с b₁ = 0.3 и q = 0.1. По формуле: S = 0.3 / (1 - 0.1) = 0.3 / 0.9 = 3/9 = 1/3. Для смешанной периодической дроби (например, 0.2(6)) число разбивают на непериодическую часть и периодический хвост: 0.2 + 0.0(6).

0.(a) = a / 9

Чистый период

Число девяток в знаменателе равно количеству цифр в периоде.
Смешанный период

Разделение суммы

Представление в виде суммы десятичной дроби и бесконечной прогрессии.

Школьное правило девяток и нулей

В числитель пишется разность всего числа после запятой и непериодической части. В знаменатель — столько девяток, сколько цифр в периоде, и столько нулей, сколько цифр между запятой и периодом: 0.1(6) = (16 - 1) / 90 = 15/90 = 1/6.

Шаг 1
Разбиение дроби
Записывают дробь в виде развернутой суммы слагаемых.
Шаг 2
Идентификация прогрессии
Определяют b₁ (первый период) и q = 10⁻ᵏ (где k — длина периода).
Шаг 3
Применение формулы S = b₁/(1 - q)
Суммируют и сокращают полученную обыкновенную дробь.
Пример обращения дроби 0.(7)
0.(7)=0.7+0.07+0.007+...=0.71−0.1=790.(7) = 0.7 + 0.07 + 0.007 + ... = \frac{0.7}{1 - 0.1} = \frac{7}{9}
Раздел 5 из 5
5

5. Геометрические фракталы и геометрическая прогрессия

Многие классические фрактальные объекты (снежинка Коха, салфетка Серпинского) строятся по закону геометрической прогрессии. На каждом шаге к фигуре добавляются новые элементы, число которых растет как геометрическая прогрессия с q > 1, а их линейные размеры уменьшаются со знаменателем q < 1. Площадь снежинки Коха представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии и оказывается строго конечной, тогда как её периметр стремится к бесконечности.

Фракталы

Самоподобие

Многократное итеративное повторение структуры на уменьшающихся масштабах.
Конечная площадь

Бесконечный периметр

Удивительное свойство геометрических кривых бесконечной длины.

Фрактальные антенны в смартфонах

Благодаря бесконечной длине самоподобных контуров в ограниченном объеме, фрактальные антенны позволяют принимать сигналы в широчайшем спектре частот.

Шаг 1
Определение начальной площади S₀
Вычисляют площадь базовой фигуры (треугольника).
Шаг 2
Вычисление знаменателя прироста q
Определяют долю площади, добавляемую на каждом последующем уровне.
Шаг 3
Суммирование ряда
Находят суммарную предельную площадь по формуле бесконечного ряда.
Площадь снежинки Коха
S=S0(1+13∑n=1∞(49)n)=85S0S = S_0 \left(1 + \frac{1}{3} \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{4}{9}\right)^n\right) = \frac{8}{5} S_0
Ваш прогресс по теме25%
Оглавление урока
Шпаргалка формул9 класс
Каноническое уравнение окружности:
(x−a)2+(y−b)2=R2(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2
n-й член арифметической прогрессии:
an=a1+d(n−1)aₙ = a_1 + d(n - 1)
Характеристическое свойство арифм. прогрессии:
aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁) / 2
Сумма n первых членов арифметической прогрессии:
Sn=((a1+an)/2)⋅n=((2a1+(n−1)d)/2)⋅nSₙ = ((a_1 + aₙ) / 2) \cdot n = ((2a_1 + (n - 1)d) / 2) \cdot n
Следующая тема

Тригонометрические функции углов от 0° до 180°

Перейти к теме →