Системы счисления: позиционные и непозиционные. Двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная СС

Система счисления (СС) — это совокупность правил и соглашений для записи чисел с помощью определенного набора знаков (цифр).

Все системы счисления делятся на две принципиальные группы:

1. Непозиционные системы счисления — количественное значение цифры не зависит от ее позиции (места) в записи числа. Классический пример — римская система счисления: символ X всегда обозначает число 10 (в числе X = 10, в числе XX = 20, в числе IX = 10 - 1 = 9). Непозиционные системы крайне неудобны для вычислений «в столбик»;

2. Позиционные системы счисления — количественный вес цифры меняется в зависимости от ее позиции (разряда) в числе. Привычная нам десятичная система — позиционная: в числе 555 первая пятерка слева означает 500 (сотни), вторая — 50 (десятки), а третья — 5 (единицы).

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием (q).

Основание системы счисления — это общее количество различных цифр, используемых для записи чисел в данной системе.

В компьютерных науках применяются четыре главные позиционные системы:

1. Десятичная система (q = 10): цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (человеческий счет по 10 пальцам рук);

2. Двоичная система (q = 2): цифры 0 и 1 (родной машинный язык процессоров ЭВМ);

3. Восьмеричная система (q = 8): цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (компактная запись двоичных триад);

4. Шестнадцатеричная система (q = 16): цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и латинские буквы A (=10), B (=11), C (=12), D (=13), E (=14), F (=15). Служит для компактной записи адресов памяти, машинных кодов и цветов в вебе (#FF5733).

Любое число в позиционной системе счисления с основанием q может быть представлено в виде суммы произведений его цифр на степени основания q.

Развернутая форма записи целого числа:

$A_q = a_{n-1} \cdot q^{n-1} + a_{n-2} \cdot q^{n-2} + \dots + a_1 \cdot q^1 + a_0 \cdot q^0$

Примеры:

• В десятичной системе: $347_{10} = 3 \cdot 10^2 + 4 \cdot 10^1 + 7 \cdot 10^0 = 300 + 40 + 7$;

• В двоичной системе: $1101_2 = 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13_{10}$;

• В шестнадцатеричной системе: $1A5_{16} = 1 \cdot 16^2 + 10 \cdot 16^1 + 5 \cdot 16^0 = 256 + 160 + 5 = 421_{10}$.

Развернутая форма служит универсальным математическим алгоритмом перевода чисел из любой системы счисления в десятичную.

Так как $8 = 2^3$, а $16 = 2^4$, между двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системами существует прямое соответствие:

• Каждая восьмеричная цифра кодируется ровно тремя двоичными знаками (триадой);

• Каждая шестнадцатеричная цифра кодируется ровно четырьмя двоичными знаками (тетрадой).

Таблица соответствия тетрад:

Благодаря этому перевод между 2 и 16 СС выполняется мгновенно без промежуточных вычислений в десятичной системе: двоичное число разбивают на четверки цифр справа налево и каждую четверку заменяют на одну шестнадцатеричную цифру.