Идеальный газ в МКТ. Основное уравнение МКТ газов. Температура

Для математического описания газовых законов в физике используют теоретическую модель — идеальный газ.

Идеальный газ — физическая модель реального газа, удовлетворяющая следующим критериям:

1. Собственным объемом молекул газа можно пренебречь по сравнению с объемом сосуда (молекулы рассматриваются как материальные точки);

2. Силы межмолекулярного взаимодействия на расстоянии отсутствуют (потенциальная энергия взаимодействия равна нулю: E_пот = 0);

3. Соударения молекул между собой и со стенками сосуда являются абсолютно упругими механическими ударами;

4. Время соударения пренебрежимо мало по сравнению со временем свободного пробега между столкновениями.

Реальные разреженные газы (воздух, гелий, азот, водород) при комнатных температурах и атмосферном давлении с колоссальной точностью ведут себя как идеальный газ.

Состояние макроскопического объема газа характеризуется двумя группами физических параметров:

1. Макроскопические параметры — параметры, характеризующие состояние всей системы в целом и измеряемые приборами: давление p (манометр), объем V (геометрия сосуда), абсолютная температура T (термометр).

2. Микроскопические параметры — характеристики отдельных молекул: масса молекулы m₀, её скорость v, кинетическая энергия E_k, импульс p₀, концентрация молекул n = N / V.

Давление идеального газа обусловлено триллионами упругих ударов хаотически движущихся молекул о стенку сосуда. При каждом упругом ударе молекула массы m₀, налетающая со скоростью v_x, передает стенке импульс: Δp = m₀·v_x - (-m₀·v_x) = 2·m₀·v_x. Суммарный импульс всех ударов в единицу времени, отнесенный к площади, создает постоянное макроскопическое давление p = F / S.

Рассматривая статистическое распределение проекций скоростей молекул по трем взаимно перпендикулярным направлениям (v_x² = v_y² = v_z² = 1/3 · v²), получают фундаментальное соотношение МКТ.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа (уравнение Клаузиуса):

p = 1/3 · n · m₀ · v_кв²,

где n — концентрация молекул, m₀ — масса одной молекулы, v_кв — среднеквадратичная скорость молекул.

Поскольку произведение n · m₀ равно плотности газа ρ = m / V, уравнение можно записать через плотность:

p = 1/3 · ρ · v_кв².

Учитывая, что средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы равна E_k = (m₀ · v_кв²) / 2, основное уравнение МКТ принимает вид:

Физический смысл: давление идеального газа прямо пропорционально произведению концентрации молекул на их среднюю кинетическую энергию поступательного движения!

В 1848 году английский физик Уильям Томсон (лорд Кельвин) ввел абсолютную термодинамическую шкалу температур.

Связь шкалы Кельвина и шкалы Цельсия:

T = t + 273.15 (T в Кельвинах, t в °C).

Абсолютный ноль температуры (T = 0 К = -273.15 °C) — предельная теоретическая температура, при которой полностью прекращается поступательное тепловое движение молекул идеального газа (E_k = 0, p = 0).

Фундаментальное уравнение Больцмана: средняя кинетическая энергия поступательного теплового движения молекулы идеального газа прямо пропорциональна абсолютной температуре и не зависит от массы молекулы:

где k — постоянная Людвига Больцмана: k = R / N_A ≈ 1.38 · 10⁻²³ Дж / К.

Подставляя E_k в основное уравнение МКТ (p = 2/3 · n · E_k), получаем важнейшую формулу давления:

Из уравнения кинетической энергии E_k = (m₀ · v_кв²) / 2 = 3/2 · k · T выражается среднеквадратичная скорость теплового движения молекул:

v_кв = √(3 · k · T / m₀) = √(3 · R · T / M),

где R = 8.314 Дж/(моль·К) — универсальная газовая постоянная, M — молярная масса газа (кг/моль).

Закономерности скорости:

1. Скорость прямо пропорциональна квадратному корню из абсолютной температуры (v_кв ~ √T);

2. Чем легче молекула, тем колоссальнее ее скорость при одной и той же температуре (v_кв ~ 1/√M). При 20 °C скорость молекул азота и кислорода в воздухе составляет ~500 м/с (скорость пули!), а молекул водорода H₂ — почти 1900 м/с!

Опыт Отто Штерна (1920 г.): прямое экспериментальное измерение скоростей атомов серебра с помощью двух коаксиальных быстро вращающихся цилиндров в глубоком вакууме блестяще подтвердило теоретическую формулу Максвелла.