Электромагнитные колебания. Колебательный контур. Формула Томсона

Колебательный контур — простейшая замкнутая электрическая цепь, состоящая из конденсатора емкостью C и катушки индуктивностью L, в которой могут происходить свободные электромагнитные колебания.

Если активное сопротивление проводов пренебрежимо мало (R ≈ 0), контур называется идеальным LC-контуром.

Механизм возникновения электромагнитных колебаний:

1. Начальный момент (t = 0): конденсатор заряжен до максимального напряжения U_max, заряд обкладок q_max. Вся энергия сосредоточена в электрическом поле конденсатора: W = W_э = (C · U_max²) / 2, ток в цепи i = 0;

2. Четверть периода (t = T/4): конденсатор полностью разряжается через катушку (q = 0, u = 0). Ток в катушке нарастает до максимального значения I_max. Вся энергия переходит в магнитное поле катушки: W = W_м = (L · I_max²) / 2;

3. Половина периода (t = T/2): ЭДС самоиндукции катушки поддерживает ток, перезаряжая конденсатор зарядом противоположного знака: q = -q_max, ток i = 0. Энергия снова сосредоточена в электрическом поле;

4. Три четверти периода (t = 3T/4): конденсатор снова разряжается, ток течет в противоположном направлении, достигая максимума: i = -I_max;

5. Полный период (t = T): система возвращается в исходное состояние, и цикл непрерывно повторяется.

Для идеального LC-контура сумма напряжений на конденсаторе u_C = q / C и на катушке u_L = - ε_si = L · (di / dt) равна нулю:

Поскольку сила тока равна первой производной от заряда по времени i = dq / dt = q', то di / dt = q'' — вторая производная от заряда по времени.

Дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний:

q'' + (1 / (L · C)) · q = 0 или q'' + ω₀² · q = 0,

где ω₀ = 1 / √(L · C) — собственная циклическая частота колебаний контура.

Решение уравнения дает гармонические законы изменения величин:

1. Заряд конденсатора:

2. Напряжение между обкладками:

u(t) = q(t) / C = U_max · cos(ω₀ · t), где U_max = q_max / C;

3. Сила электрического тока в контуре:

где I_max = q_max · ω₀ — амплитудное значение силы тока.

Связь периода электромагнитных колебаний с циклической частотой задается соотношением: T = 2π / ω₀.

Подставляя циклическую частоту ω₀ = 1 / √(L · C), получаем фундаментальную формулу Томсона.

Формула Томсона (выведена лордом Кельвином — Уильямом Томсоном в 1853 г.):

Период свободных гармонических электромагнитных колебаний в идеальном контуре равен:

Линейная частота собственных колебаний (ν — число полных колебаний в 1 секунду):

ν = 1 / T = 1 / (2π · √(L · C)).

В Международной системе СИ частота измеряется в Герцах (Гц).

Закономерности формулы Томсона:

• При увеличении емкости конденсатора C в 4 раза период колебаний T возрастает ровно в 2 раза, а частота ν падает в 2 раза;

• При увеличении индуктивности катушки L в 9 раз период T возрастает в 3 раза;

• Для настройки радиоприемника на нужную радиостанцию вращают ручку переменного конденсатора (вариометра), изменяя емкость C и согласуя частоту контура ν с частотой передатчика.

В идеальном колебательном контуре (при сопротивлении R = 0) потери энергии на джоулево тепло отсутствуют. Полная электромагнитная энергия системы сохраняется неизменной во времени (закон сохранения энергии):

W_полн = W_э(t) + W_м(t) = const.

Энергетические составляющие в произвольный момент времени t:

• Энергия электрического поля конденсатора: W_э(t) = q(t)² / (2C) = (C · u(t)²) / 2;

• Энергия магнитного поля катушки: W_м(t) = (L · i(t)²) / 2.

Подставляя гармонические функции q(t) = q_max · cos(ω₀t) и i(t) = - I_max · sin(ω₀t):

W_полн = (q_max² / (2C)) · cos²(ω₀t) + ((L · I_max²) / 2) · sin²(ω₀t).

Поскольку полная энергия постоянна, амплитудные значения энергий обязаны быть равны между собой:

W_max(э) = W_max(м) = W_полн:

Связь амплитуд напряжения и силы тока:

Величина ρ = √(L / C) называется волновым (характеристическим) сопротивлением колебательного контура (Ом).

Частота колебаний энергии: энергия поля пульсирует с удвоенной частотой по сравнению с колебаниями заряда и тока: ν_{энергии} = 2 · ν₀, так как за один период T энергия дважды превращается в электрическую и дважды в магнитную.

1. Затухающие колебания в реальном контуре:

В любом реальном контуре провода и катушка обладают активным электрическим сопротивлением (R > 0). При протекании тока часть энергии непрерывно превращается в теплоту Джоуля — Ленца: Q = I² · R · t.

Амплитуда колебаний заряда, напряжения и тока экспоненциально уменьшается со временем — колебания являются затухающими. Чем больше сопротивление R, тем быстрее затухают колебания (при критическом сопротивлении R_кр = 2√(L/C) колебательный процесс прекращается вовсе, переходя в апериодический разряд).

2. Незатухающие автоколебания (генератор на транзисторе):

Чтобы получить незатухающие электромагнитные колебания постоянной амплитуды, необходимо периодически восполнять потери энергии в контуре от внешнего источника постоянного тока в строгом согласии с фазой колебаний.

Элементы автоколебательной системы:

• Колебательная система — LC-контур, задающий частоту собственных колебаний ω₀;

• Источник энергии — батарея или источник постоянного напряжения;

• Клапан — биполярный или полевой транзистор, открывающий доступ энергии порциями в контур;

• Канал обратной связи — катушка обратной связи (индуктивная связь), управляющая базой транзистора в нужные моменты времени (положительная обратная связь).