ibrain.kz
RUKZ
Предыдущая тема|Следующая: Механические волны и звук
Физика · 9 класс3 четвертьТема 1Лабораторная работаГОСО РК 2026Средний

Механические колебания. Гармонические колебания. Математический и пружинный маятники

Периодические процессы. Свободные и вынужденные колебания. Амплитуда (x_m), период (T), частота (ν) и циклическая частота (ω). Формула периода пружинного маятника: T = 2π√(m/k). Формула периода математического маятника (Гюйгенса): T = 2π√(l/g). Резонанс.

Время изучения~75 минтеория + практика
Разделы темы5 разд.пошаговый разбор
Тест темы2 вопр.с мгновенным ответом
СОР / СОЧ3 четвертьдескрипторы ГОСО
Раздел 1 из 5
1

Колебательное движение: свободные и вынужденные колебания

Колебаниями называют механические движения или изменения состояния, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени.

Классификация колебаний по условиям возбуждения:

1. Свободные колебания — колебания, происходящие в механической системе за счет первоначально сообщенной энергии после выведения ее из положения равновесия (колебания подвешенного груза на нити, звучание струны гитары).

2. Вынужденные колебания — колебания, происходящие под действием внешней периодически изменяющейся силы (движение поршня в двигателе, игла швейной машины).

3. Автоколебания — незатухающие колебания, поддерживаемые внутренними источниками энергии за счет саморегуляции поступления энергии (механические маятниковые часы с гирей или пружиной).

Условия возникновения свободных механических колебаний:

• Наличие устойчивого положения равновесия;

• Возникновение возвращающей силы при смещении тела из равновесия;

• Достаточно малое трение в системе.

СВОБОДНЫЕ

Один толчок

Происходят без внешнего воздействия; из-за трения свободные колебания всегда затухают.
ВЫНУЖДЕННЫЕ

Периодическая сила

Частота колебаний в точности равна частоте вынуждающей внешней силы.
Раздел 2 из 5
2

Кинематические характеристики колебаний: амплитуда, период, частота

Колебательный процесс описывается тремя базовыми величинами:

1. Смещение (x) — координата колеблющегося тела в данный момент времени, отсчитываемая от положения равновесия (м).

2. Амплитуда колебаний (A или xm) — модуль максимального отклонения колеблющегося тела от положения равновесия (м).

3. Период колебаний (T) — минимальный промежуток времени, за который совершается одно полное колебание (с):

T=t/NT = t / N,

где t — время, за которое совершено N полных колебаний.

4. Частота колебаний (ν — греческая буква «ню») — число полных колебаний, совершаемых в единицу времени (1 секунду):

ν = N / t = 1 / T.

В СИ частота измеряется в Герцах (Гц) в честь Генриха Герца: 1 Гц — одно полное колебание за 1 секунду.

5. Циклическая (круговая) частота (ω) — число колебаний за 2π секунд:

ω = 2π · ν = 2π / T (рад/с).

Связь параметров колебанийПолное колебание
T=1/ν;ν=1/T;ω=2π/T=2π⋅ν;T=t/NT = 1 / \nu ;\quad \nu = 1 / T;\quad ω = 2 \pi / T = 2 \pi \cdot \nu ;\quad T = t / N
где T — период (с), ν — частота (Гц), ω — циклическая частота (рад/с), N — число колебаний за время t.
Полное колебание
За одно полное колебание тело проходит путь, равный четырем амплитудам: s = 4 · A!
Раздел 3 из 5
3

Гармонические колебания: уравнения координаты, скорости и ускорения

Гармоническими называют колебания, при которых физическая величина изменяется с течением времени по закону синуса или косинуса:

x(t)=A⋅cos(ω⋅t+φ0)x(t) = A \cdot cos(ω \cdot t + \varphi _0),

где x(t) — мгновенное смещение, A — амплитуда, ω — циклическая частота, φ = (ωt + φ₀) — фаза колебаний, φ₀ — начальная фаза в момент времени t = 0.

Скорость при гармонических колебаниях (первая производная координаты по времени):

v(t)=x′(t)=−A⋅ω⋅sin(ω⋅t+φ0)=vmax⋅cos(ω⋅t+φ0+π/2)v(t) = x'(t) = -A \cdot ω \cdot sin(ω \cdot t + \varphi _0) = v_{max} \cdot cos(ω \cdot t + \varphi _0 + \pi /2).

Амплитуда скорости: vmax = A · ω.

Ускорение при гармонических колебаниях (вторая производная координаты):

a(t)=v′(t)=−A⋅ω2⋅cos(ω⋅t+φ0)=−ω2⋅x(t)a(t) = v'(t) = -A \cdot ω^2 \cdot cos(ω \cdot t + \varphi _0) = -ω^2 \cdot x(t).

Амплитуда ускорения: amax = A · ω².

Уравнения гармонических колебанийСдвиг по фазе
x=A⋅cos(ωt);vmax=A⋅ω;amax=A⋅ω2;a=−ω2⋅xx = A \cdot cos(ωt);\quad v_{max} = A \cdot ω;\quad a_{max} = A \cdot ω^2;\quad a = -ω^2 \cdot x
Ускорение гармонического колебания прямо пропорционально смещению и направлено в противоположную сторону (к центру равновесия).
Сдвиг по фазе
Скорость опережает координату по фазе на π/2 (90°), а ускорение находится в противофазе (сдвиг π = 180°).
Раздел 4 из 5
4

Пружинный маятник: период колебаний и возвращающая сила

Пружинный маятник — механическая система, состоящая из тела массой m, прикрепленного к упругой пружине жесткостью k, второй конец которой неподвижно закреплен.

При смещении тела на x от равновесия по закону Гука возникает возвращающая сила упругости: F = -k · x. По второму закону Ньютона: m·a = -k·x → a + (k/m)·x = 0.

Сравнивая с уравнением a = -ω²·x, получаем циклическую частоту пружинного маятника: ω = √(k / m).

Формула периода свободных колебаний пружинного маятника:

T=2π/ω=2π⋅m/kT = 2 \pi / ω = 2 \pi \cdot \sqrt{m / k}.

Период пружинного маятника прямо пропорционален квадратному корню из массы груза и обратно пропорционален квадратному корню из жесткости пружины.

Период пружинного маятникаНезависимость от амплитуды
T=2π⋅m/k;ν=(1/2π)⋅k/mT = 2 \pi \cdot \sqrt{m / k};\quad \nu = (1 / 2 \pi ) \cdot \sqrt{k / m}
где T — период (с), m — масса груза (кг), k — жесткость пружины (Н/м).
Независимость от амплитуды
Период колебаний пружинного маятника не зависит от амплитуды колебаний (изохронность малых колебаний)!
Раздел 5 из 5
5

Математический маятник: формула Гюйгенса и явление резонанса

Математический маятник — идеализированная система, состоящая из материальной точки массой m, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити длиной l в гравитационном поле.

При малых углах отклонения (α ≤ 5–7°) возвращающая составляющая силы тяжести F = -m·g·sin α ≈ -m·g·(x/l) создает гармонические колебания с циклической частотой: ω = √(g / l).

Формула Христиана Гюйгенса для периода математического маятника:

T=2π⋅l/gT = 2 \pi \cdot \sqrt{l / g}.

Период математического маятника зависит ТОЛЬКО от длины нити l и ускорения свободного падения g и совершенно не зависит от массы груза и амплитуды колебаний!

Резонанс — явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты вынуждающей внешней силы νвнеш с собственной частотой колебательной системы ν0. Резонанс опасен при раскачке мостов (разрушение Такомского моста в 1940 г.) и полезен при настройке радиоприемников на частоту станции.

Анимированная модель: Гармонические колебания математического маятника

Анимированная модель
Математический маятник: Превращение энергии (T = 2π√(l/g))mКолебания гармоническиеДинамический баланс энергийКинетическая Eₖ = mv²/2Потенциальная Eₚ = mghПолная E = Eₖ + Eₚ = const
Непрерывное периодическое превращение кинетической энергии Ek в потенциальную энергию Ep с сохранением полной механической энергии E = const.
Формула периода ГюйгенсаОпределение g маятником
T=2π⋅l/g;g=(4π2⋅l)/T2T = 2 \pi \cdot \sqrt{l / g};\quad g = (4 \pi ^2 \cdot l) / T^2
где T — период (с), l — длина нити маятника (м), g — ускорение свободного падения (м/с²).
Определение g маятником
Измерение длины нити l и периода T позволяет экспериментально измерить ускорение g с точностью до сотых долей!
Ваш прогресс по теме25%
Оглавление урока
Шпаргалка формул9 класс
Второй закон Ньютона:
F=m⋅aF = m \cdot a[Н]
Ускорение при равноускоренном движении:
a=(v−v0)/ta = (v - v_0) / t[м/с²]
Скорость равноускоренного движения:
v=v0+a⋅tv = v_0 + a \cdot t[м/с]
Перемещение при равноускоренном движении:
s=v0⋅t+(a⋅t2)/2s = v_0 \cdot t + (a \cdot t^2) / 2[м]
Следующая тема

Механические волны и звук

Перейти к теме →