ibrain.kz
RUKZ
Предыдущая тема|Следующая: Квантовая физика. Фотоны. Фотоэлектрический эффект
Физика · 11 класс3 четвертьТема 2Лабораторная работаГОСО РК 2026Углубленный

Элементы специальной теории относительности (СТО). Формула Эйнштейна

Кризис классической физики и опыт Майкельсона — Морли. Постулаты Эйнштейна (1905 г.). Относительность одновременности. Релятивистское замедление времени: Δt = Δt₀ / √(1 - v²/c²). Лоренцево сокращение длины: l = l₀ √(1 - v²/c²). Релятивистский закон сложения скоростей. Закон взаимосвязи массы и энергии: E = m c² = (m₀ c²) / √(1 - v²/c²).

Время изучения~75 минтеория + практика
Разделы темы5 разд.пошаговый разбор
Тест темы2 вопр.с мгновенным ответом
СОР / СОЧ3 четвертьдескрипторы ГОСО
Раздел 1 из 5
1

Кризис классической физики и постулаты СТО Альберта Эйнштейна

В конце XIX века классическая физика столкнулась с глубоким фундаментальным противоречием:

• Механика Ньютона основана на классическом принципе относительности Галилея и абсолютном, одинаковом для всех времени t = t';

• Электродинамика Максвелла утверждает, что скорость света в вакууме c = 3 · 10⁸ м/с постоянна и не зависит от движения источников света.

Если бы закон сложения скоростей Галилея v = v' + u был верен для света, то относительно летящей Земли скорость света зависела бы от направления движения («эфирный ветер»). Прецизионный опыт Альберта Майкельсона и Эдварда Морли (1887 г.) на интерферометре показал полное отсутствие движения сквозь гипотетический эфир — скорость света оставалась абсолютно неизменной во всех направлениях!

Разрешение кризиса нашел 26-летний Альберт Эйнштейн, опубликовавший в 1905 году работу «К электродинамике движущихся тел», заложившую основы Специальной теории относительности (СТО).

Два фундаментальных постулата Эйнштейна:

1. Принцип относительности Эйнштейна:

Все физические законы (не только механические, но также оптические и электромагнитные) протекают совершенно одинаково во всех инерциальных системах отсчета (ИСО). Никакими внутренними физическими опытами невозможно отличить состояние покоя ИСО от ее равномерного прямолинейного движения;

2. Постулат о постоянстве скорости света:

Скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах отсчета и совершенно не зависит от движения источника света или движения наблюдателя: c = const ≈ 3 · 10⁸ м/с.

Скорость света c является абсолютной предельной скоростью передачи любых сигналов и взаимодействий в материальной Вселенной.

ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Равноправие всех ИСО

Все законы физики имеют строго одинаковую математическую форму в любых инерциальных системах.
c = 300 000 км/с

Инвариант природы

Скорость света одинакова для покоящегося наблюдателя и космонавта, летящего навстречу лучу.
Раздел 2 из 5
2

Относительность одновременности и преобразования Лоренца

Отказ от представлений об абсолютном времени привел к пересмотру понятий одновременности, пространства и времени.

Относительность одновременности:

Два пространственно разделенных события, происходящие одновременно в одной системе отсчета, НЕ ЯВЛЯЮТСЯ одновременными в других системах отсчета, движущихся относительно первой!

Мысленный эксперимент Эйнштейна:

В центре быстро движущегося железнодорожного вагона вспыхивает лампа. С точки зрения наблюдателя в вагоне свет достигает передней и задней стенок одновременно (расстояния одинаковы, скорость света c). Но с точки зрения наблюдателя на перроне задняя стенка едет навстречу световому лучу, а передняя убегает от него; поэтому свет достигнет задней стенки раньше передней! Понятие «одновременно» относительно.

Преобразования Лоренца:

Вместо классических преобразований Галилея координаты и время пересчитываются по релятивистским преобразованиям Хендрика Лоренца:

x=(x′+v⋅t′)/1−v2/c2x = (x' + v \cdot t') / \sqrt{1 - v^2 / c^2};
t=(t′+(v/c2)⋅x′)/1−v2/c2t = (t' + (v / c^2) \cdot x') / \sqrt{1 - v^2 / c^2};
y=y′;z=z′y = y';\quad z = z'.

Релятивистский фактор (фактор Лоренца):

γ = 1 / √(1 - v² / c²).

При малых скоростях движения (v << c, например скорости самолетов и ракет v ~ 1–10 км/с) отношение v/c ≈ 0, фактор γ ≈ 1, и формулы Лоренца переходят в классические формулы механики Ньютона (принцип соответствия).

ФАКТОР ЛОРЕНЦА γ

γ ≥ 1

Безразмерный коэффициент, определяющий масштаб релятивистских искажений времени и длины.
ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ ВРЕМЕНИ

Нет абсолютных часов

Время не течет само по себе независимо от пространства; пространство и время образуют единый 4-континуум.
Преобразования ЛоренцаПринцип соответствия
x=γ⋅(x′+vt′);t=γ⋅(t′+vx′/c2);γ=1/1−v2/c2x = \gamma \cdot (x' + vt');\quad t = \gamma \cdot (t' + vx'/c^2);\quad \gamma = 1 / \sqrt{1 - v^2/c^2}
где γ — фактор Лоренца, v — относительная скорость ИСО (м/с), c — скорость света в вакууме (м/с).
Принцип соответствия
При обычных скоростях v << c релятивистские поправки ничтожно малы, и механика Ньютона дает сверхточный результат.
Раздел 3 из 5
3

Релятивистские кинематические эффекты: замедление времени и сокращение длины

Из постулатов СТО и преобразований Лоренца вытекают поразительные следствия для масштабов времени и расстояний при скоростях, близких к скорости света.

1. Релятивистское замедление времени (эффект замедления хода часов):

Время протекания любого физического процесса в движущейся системе отсчета замедляется с точки зрения неподвижного наблюдателя:

Δt = Δt₀ / √(1 - v² / c²) = γ · Δt₀,

где Δt₀ — собственное время (время, измеренное по часам, покоящимся относительно данного объекта).

Движущиеся часы всегда идут медленнее покоящихся! Время летящего со скоростью 0.99c космонавта течет в 7 раз медленнее, чем на Земле (парадокс близнецов).

Экспериментальное доказательство: космические нестабильные частицы — мюоны, рождающиеся в верхних слоях атмосферы, имеют собственное время жизни всего τ₀ ≈ 2.2 мкс. Без замедления времени они пролетали бы всего s = c · τ₀ ≈ 660 метров. Но благодаря скорости v ≈ 0.999c их время жизни на Земле возрастает в 22 раза, и они свободно достигают поверхности Земли!

2. Релятивистское сокращение продольной длины (лоренцево сжатие):

Линейный размер тела вдоль направления его движения сокращается с точки зрения внешнего неподвижного наблюдателя:

l=l0⋅1−v2/c2=l0/γl = l_0 \cdot \sqrt{1 - v^2 / c^2} = l_0 / \gamma ,

где l₀ — собственная длина тела (длина, измеренная в системе, где тело покоится).

Поперечные размеры тела (перпендикулярные вектору скорости) остаются абсолютно неизменными: d = d₀.

ЧАСЫ ЗАМЕДЛЯЮТСЯ

Δt > Δt₀

Для быстро движущегося наблюдателя все биологические и механические процессы текут медленнее.
СТЕРЖЕНЬ КОРОЧЕ

l < l₀

Ракета длиной 100 метров при скорости 0.95c наблюдателю с Земли покажется длиной всего 31 метр.
Замедление времени и сжатие длиныНаправление сжатия
Δt=Δt0/1−v2/c2;l=l0⋅1−v2/c2 \Delta t = \Delta t_0 / \sqrt{1 - v^2/c^2};\quad l = l_0 \cdot \sqrt{1 - v^2/c^2}
где Δt₀, l₀ — собственные время и длина (в системе покоя объекта), Δt, l — время и длина в движущейся системе.
Направление сжатия
Сжатие тела происходит ИСКЛЮЧИТЕЛЬНО вдоль вектора скорости его движения! Поперечные размеры не меняются.
Раздел 4 из 5
4

Релятивистский закон сложения скоростей

Классический закон сложения скоростей Галилея (u = u' + v) неприменим при околосветовых скоростях, так как он допускал бы превышение скорости света (например, фонарик на ракете со скоростью 0.8c дал бы скорость луча 1.8c, что грубо противоречит постулатам СТО).

Релятивистский закон сложения скоростей (для одномерного движения вдоль одной прямой):

u=(u′+v)/(1+(u′⋅v)/c2)u = (u' + v) / (1 + (u' \cdot v) / c^2),

где u' — скорость тела относительно подвижной системы отсчета K', v — скорость подвижной системы отсчета K' относительно неподвижной системы K, u — скорость тела относительно неподвижной системы K.

Проверка фундаментальных свойств формулы:

1. Предельный переход к классической механике:

Если скорости тел малы по сравнению со скоростью света (u' << c и v << c), то величина (u' · v) / c² ≈ 0, знаменатель обращается в единицу, и мы получаем классическую формулу Галилея: u = u' + v;

2. Сложение любой скорости со скоростью света:

Пусть тело летит со скоростью света u' = c (например, световой луч или фотон, испущенный летящей ракетой). Подставляя в формулу:

u=(c+v)/(1+(c⋅v)/c2)=(c+v)/(1+v/c)=(c+v)/((c+v)/c)=c!u = (c + v) / (1 + (c \cdot v) / c^2) = (c + v) / (1 + v / c) = (c + v) / ((c + v) / c) = c!

Сложение абсолютно любой досветовой скорости со скоростью света c дает строго скорость света c! Превзойти скорость света невозможно.

ИНВАРИАНТ c

c + v = c

Скорость света ведет себя как абсолютный математический предел в формуле сложения скоростей.
ВСТРЕЧНЫЙ ПОЛЕТ

Две ракеты по 0.8c

Две ракеты, летящие навстречу со скоростями 0.8c, сближаются со скоростью (0.8+0.8)/(1+0.64) ≈ 0.975c < c!
Релятивистское сложение скоростейЗнак скорости
u=(u′+v)/(1+(u′⋅v)/c2);приu′=c:u=cu = (u' + v) / (1 + (u' \cdot v) / c^2);\quad при u' = c: u = c
где u — результирующая скорость, u' — скорость в подвижной системе, v — скорость подвижной системы, c — скорость света.
Знак скорости
Если тела движутся навстречу друг другу, знак проекции скорости выбирается с минусом: u = (u' - v) / (1 - u'v/c²).
Раздел 5 из 5
5

Релятивистская динамика: импульс, закон взаимосвязи массы и энергии (E = mc²)

СТО полностью реформировала классические законы динамики Ньютона для субсветовых скоростей.

1. Релятивистский импульс частицы:

p=(m⋅v)/1−v2/c2=γ⋅m⋅vp = (m \cdot v) / \sqrt{1 - v^2 / c^2} = \gamma \cdot m \cdot v,

где m — масса покоя частицы (инвариант, не зависящий от скорости!).

При приближении скорости v к скорости света c знаменатель стремится к нулю, а импульс p и требуемая сила F = dp/dt стремятся к бесконечности! Поэтому ни одно материальное тело с массой покоя m > 0 невозможно разогнать до скорости света — для этого потребовалась бы бесконечная энергия!

2. Закон взаимосвязи массы и энергии Альберта Эйнштейна (1905 г.):

Полная релятивистская энергия E материального тела прямо пропорциональна его релятивистской массе:

E=(m⋅c2)/1−v2/c2=γ⋅m⋅c2E = (m \cdot c^2) / \sqrt{1 - v^2 / c^2} = \gamma \cdot m \cdot c^2.

3. Энергия покоя (E₀):

Даже неподвижное тело (v = 0, γ = 1) обладает колоссальной внутренней скрытой энергией покоя:

E0=m⋅c2E_0 = m \cdot c^2.

Величина c² ≈ 9 · 10¹⁶ м²/с² выступает гигантским коэффициентом пересчета массы в энергию: 1 грамм любого вещества содержит скрытую энергию E₀ = 10⁻³ · 9 · 10¹⁶ = 9 · 10¹³ Дж (эквивалентно сгоранию 2000 тонн мазута!).

4. Кинетическая энергия в СТО:

Eкин = E - E₀ = (γ - 1) · m · c² = m · c² · [ 1 / √(1 - v²/c²) - 1 ].

При малых скоростях формула переходит в привычную ньютоновскую Eкин ≈ m · v² / 2.

5. Релятивистская связь энергии и импульса:

E2=p2⋅c2+m2⋅c4E^2 = p^2 \cdot c^2 + m^2 \cdot c^4.

Для частиц с нулевой массой покоя (фотон: m = 0): E = p · c, откуда импульс фотона p = E / c = h / λ.

E = m · c²

Энергия покоя

Величайшая формула XX века, открывшая человечеству путь к овладению ядерной энергией.
ФОТОН m = 0

E = p · c

Частицы без массы покоя рождаются сразу со скоростью света и переносят импульс p = E/c.
Формула ЭйнштейнаЭнергия покоя
E0=m⋅c2;E=γ⋅m⋅c2;p=γ⋅m⋅v;E2=p2⋅c2+m2⋅c4E_0 = m \cdot c^2;\quad E = \gamma \cdot m \cdot c^2;\quad p = \gamma \cdot m \cdot v;\quad E^2 = p^2 \cdot c^2 + m^2 \cdot c^4
где E₀ — энергия покоя (Дж), m — масса покоя (кг), c ≈ 3 · 10⁸ м/с — скорость света, p — импульс (кг·м/с).
Энергия покоя
Масса покоя m эквивалентна концентрированной энергии: любое изменение массы Δm сопровождается выделением энергии ΔE = Δm · c²!
Ваш прогресс по теме25%
Оглавление урока
Шпаргалка формул11 класс
Сила Ампера:
FA=I⋅B⋅L⋅sinαF_A = I \cdot B \cdot L \cdot sin α[Н]
Сила Лоренца:
FЛ=∣q∣⋅v⋅B⋅sinαF_{\text{Л}} = |q| \cdot v \cdot B \cdot sin α[Н]
Радиус кривизны частицы в поле:
R=(m⋅v)/(∣q∣⋅B)R = (m \cdot v) / (|q| \cdot B)[м]
Магнитный поток:
Ф=B⋅S⋅cosαФ = B \cdot S \cdot cos α[Вб]
Следующая тема

Квантовая физика. Фотоны. Фотоэлектрический эффект

Перейти к теме →