Общим делителем нескольких чисел называется число, служащее делителем для каждого из них. Например, числа 12, 18, 30 имеют общий делитель 3; число 2 — тоже их общий делитель. Среди всех общих делителей всегда имеется наибольший, в нашем примере — число 6. Это число называется наибольшим общим делителем (НОД).
Примеры. Для чисел 16, 20, 28 НОД есть 4; для чисел 5, 30, 60, 90 НОД есть 5.
Пример 1. Найти НОД чисел 252, 441, 1080. Разлагаем на простые множители
252 = 22 · 32-7; 441 = 32 · 72; 1080 = 23 · З2 · 5.
Общим для чисел является только простой множитель 3; наименьший из показателей, с которыми он входит в данные числа, есть 2. НОД равен З2 = 9.
Пример 2. Найти НОД чисел 234, 1080, 8100.
234 = 2 · З2-13; 1080 = 23 · З2 · 5; 8100 = 22 · З4 · 52. НОД = 2 · 32 = 18.
Может случиться так, что простых множителей, общих для всех данных чисел, не будет вовсе. Тогда наибольший общий делитель есть 1. Например, для чисел 15 = 3 · 5, 10 = 2 · 5, 6 = 2 · 3 НОД = 1. Два числа, НОД которых равен 1, называются взаимно простыми. Например, 15 и 22 взаимно простые числа.
Наименьшее общее кратное
Общим кратным нескольких чисел называется число, служащее кратным для каждого из них. Например, числа 15, 6, 10 имеют общее кратное 180; число 90 — также общее кратное этих чисел. Среди всех общих кратных всегда есть наименьшее, в данном случае число 30. Это число называется наименьшим общим кратным (НОК). Для небольших чисел НОК находится легко по догадке. Если числа большие, поступаем так: разлагаем данные числа на простые множители; выписываем все простые множители, входящие хотя бы в одно из данных чисел; каждый из
взятых множителей возводим в наибольшую из тех степеней, с которыми он входит в данные числа. Производим умножение.
Пример 1. Найти НОК чисел 252, 441, 1080.
Разлагаем на простые множители: 252 = 22 · З2 · 7; 441 = З2 · 72; 1080 = 23 · З3 · 5. Перемножаем 23 · З3 · 72 х 5. НОК = 52 920.
Пример 2. Найти НОК чисел 234, 1080, 8100 НОК = 23 · З4 · 52 · 13 = 210 600.