Сокращение и «расширение» дроби,Сравнение дробей; приведение к общему знаменателю

Сокращение и «расширение» дроби

Величина дроби не изменится, если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же число.
Например,

Такое преобразование дроби называется «расширением» дроби. Дробь  получена расширением на 6 из дроби

Величина дроби не изменится, если числитель и знаменатель дроби разделить на одно и тоже число.

Например  Такое преобразование называется сокращением дроби.

Дробь можно сократить только в том случае если числитель и знаменатель имеют одинаковые делители (т.е. если они не взаимно простые). Сокращение можно производить постепенно или сразу на НОД.

Пример: Сократить дробь  Применяя признак делимости на 4, видим что 4 есть общий делитель числителя и знаменателя. Сокращая на 4 имеем

27 и 36 имеют общий делитель 9, сокращаем  на 9 имеем  Дальнейшее сокращение невозможно (3 и 4 – взаимно простые числа).

Тот же результат мы получим, если найдем НОД чисел 108 и 144. Он равен 36. Сократив на 36 получим

После сокращения на НОД получается несократимая дробь

Сравнение дробей; приведение к общему знаменателю

Из двух дробей с одинаковым числителем больше та дробь, у которой знаменатель меньше. Например:
 ; 

Из двух дробей с одинаковым знаменателем больше та дробь, у которой числитель больше.
Например:

Чтобы сравнить две дроби, у которых различны и числитель и знаменатель, нужно одну или обе дроби преобразовать так, чтобы их знаменатели стали одинаковыми. Для этого можно, например, первую дробь расширить на знаменатель второй, а вторую — на знаменатель первой.

Пример. Сравним дроби  Расширяем первую дробь на 12, а вторую на 8; имеем:

Теперь знаменатели одинаковы. Сравнив числители, видим, что вторая дробь больше первой.

Примененное преобразование дробей называется приведением их к общему знаменателю.

Чтобы привести к общему знаменателю несколько дробей, можно каждую из них расширить на произведение знаменателей остальных. Например, чтобы привести к общему знаменателю дроби

 расширим первую на 5 · 6=30, вторую 8 · 5=40, третью 8 · 6=48.

Получим  Общим знаменателем будет произведение знаменателей всех данных дробей (8·6·5=240).

Этот способ приведения к общему знаменателю самый простой и во многих случаях самый практичный. Единственное его неудобство состоит в том, что общий знаменатель может оказаться довольно большим, тогда как можно выбрать его меньшим. Именно, за общий знаменатель можно взять любое общее кратное (в частности, НОК) данных знаменателей. Тогда нужно расширить каждую дробь на частное, получаемое от деления общего кратного на знаменатель взятой дроби (это частное называется дополнительным множителем).

Пример даны дроби  НОК знаменателей 8, 6, 5 = 120. Дополнительные множители: 120:8=15; 120:6=20; 120:5=24. Расширяем первую дробь на 15, вторую на 20, третью на 24. Получаем