Степень с натуральным показателем и её фундаментальные свойства

Степень — это краткая математическая запись многократного умножения одного и того же числа на себя.

Определение: степенью действительного числа a с натуральным показателем n, большим 1, называют произведение n множителей, каждый из которых равен a:

aⁿ = a · a · ... · a (n раз).

Компоненты степени:

• Число a называют основанием степени — это повторяющийся сомножитель;

• Число n называют показателем степени — оно указывает, сколько раз основание берется множителем;

• Выражение aⁿ называют самой степенью.

Частные соглашения:

1. Степень числа с показателем 1 равна самому этому числу: a¹ = a;

2. Степень любого положительного числа всегда положительна: (+a)ⁿ > 0;

3. Степень отрицательного числа зависит от четности показателя:

• Если показатель n четный (n = 2k), степень положительна: (-2)⁴ = +16;

• Если показатель n нечетный (n = 2k + 1), степень отрицательна: (-2)³ = -8;

4. Ноль в любой натуральной степени равен нулю: 0ⁿ = 0.

Степени с одинаковыми основаниями подчиняются фундаментальным правилам умножения и деления.

1. Умножение степеней с одинаковыми основаниями:

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют без изменения, а показатели степеней складывают:

aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ.

Доказательство: произведение m множителей a на n множителей a дает в итоге (m + n) множителей a.

Пример: x⁴ · x⁷ = x⁴⁺⁷ = x¹¹; 2³ · 2⁵ = 2⁸ = 256.

2. Деление степеней с одинаковыми основаниями:

При делении степеней с одинаковыми основаниями (при условии a ≠ 0 и m > n) основание оставляют прежним, а из показателя делимого вычитают показатель делителя:

aᵐ : aⁿ = aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ.

Пример: y⁹ : y⁴ = y⁹⁻⁴ = y⁵; 5⁶ / 5⁴ = 5² = 25.

Следствие: свойства применимы к любому количеству сомножителей: a³ · a⁵ · a² = a³⁺⁵⁺² = a¹⁰.

Следующая группа свойств связывает степени составных выражений.

1. Возведение степени в степень:

При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели степеней перемножают:

(aᵐ)ⁿ = aᵐ · ⁿ.

Пример: (x³)² = x³ · ² = x⁶; (2²)³ = 2⁶ = 64.

2. Возведение произведения в степень:

Степень произведения равна произведению степеней каждого из сомножителей:

(a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ.

Пример: (2x)³ = 2³ · x³ = 8x³; (-3ab)² = (-3)² · a² · b² = 9a²b².

3. Возведение дроби (частного) в степень:

Чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень отдельно числитель и отдельно знаменатель:

(a / b)ⁿ = aⁿ / bⁿ (b ≠ 0).

Пример: (2/3)⁴ = 2⁴ / 3⁴ = 16/81; (x / 5)² = x² / 25.

Для сохранения непрерывности законов умножения и деления понятие степени было расширено за пределы натуральных чисел.

1. Степень с нулевым показателем:

Рассмотрим деление равных степеней aⁿ / aⁿ. С одной стороны, любое ненулевое число, деленное само на себя, равно 1: aⁿ / aⁿ = 1. С другой стороны, по правилу вычитания показателей: aⁿ / aⁿ = aⁿ⁻ⁿ = a⁰.

Определение: любое число a, отличное от нуля (a ≠ 0), в нулевой степени равно единице:

a⁰ = 1 (при a ≠ 0).

Примеры: 5⁰ = 1; (-127)⁰ = 1; (2/3)⁰ = 1; (3x²y)⁰ = 1.

Выражение 0⁰ не имеет математического смысла (неопределенность).

2. Степень с целым отрицательным показателем:

Для любого ненулевого числа a и натурального числа n:

a⁻ⁿ = 1 / aⁿ (a ≠ 0).

Примеры: 2⁻³ = 1 / 2³ = 1/8; 5⁻¹ = 1/5 = 0.2; (2/3)⁻² = (3/2)² = 9/4 = 2.25.

В физике, астрономии и химии часто встречаются как колоссально огромные числа (масса Солнца M ≈ 1.989 · 10³⁰ кг), так и микроскопически малые (масса электрона m ≈ 9.11 · 10⁻³¹ кг). Для их компактной записи используют стандартный вид числа.

Определение: стандартным видом положительного числа a называют его запись в виде:

где 1 ≤ a₀ < 10 (число a₀ называют значащей частью числа, оно содержит ровно одну ненулевую цифру до запятой), а n — целое число (порядок числа).

Порядок числа n характеризует масштаб величины:

• Если n > 0 (положительный порядок), число очень велико: расстояние от Земли до Солнца 150 000 000 км = 1.5 · 10⁸ км (порядок равен 8);

• Если n < 0 (отрицательный порядок), число очень мало: толщина мыльной пленки 0.000005 м = 5 · 10⁻⁶ м (порядок равен -6).

Алгоритм приведения числа к стандартному виду:

1. Перенести запятую так, чтобы слева от нее осталась ровно одна цифра от 1 до 9;

2. Сосчитать число позиций k, на которое сместилась запятая;

3. Записать показатель степени 10: если сдвигали влево, n = +k; если сдвигали вправо, n = -k.