ibrain.kz
RUKZ
Предыдущая тема|Следующая: Арифметическая прогрессия и n-й член
Алгебра · 9 класс1 четвертьТема 3ГОСО РК 2026Базовый

Числовые последовательности

Определение числовой последовательности, способы задания (аналитический, рекуррентный), монотонность и ограниченность.

Время изучения~75 минтеория + практика
Разделы темы5 разд.пошаговый разбор
Тест темы3 вопр.с мгновенным ответом
СОР / СОЧ1 четвертьдескрипторы ГОСО
Раздел 1 из 5
1

1. Определение последовательности как функции натурального аргумента

Числовой последовательностью называют функцию y = f(n), областью определения которой является множество натуральных чисел ℕ = {1, 2, 3, ...}. Значения этой функции f(1), f(2), f(3), ..., f(n), ... называют членами последовательности и обозначают a₁, a₂, a₃, ..., aₙ, ... Индекс n указывает порядковый номер члена, а aₙ называют общим (или n-м) членом последовательности. Последовательность обозначают кратко: (aₙ).

aₙ = f(n), n ∈ ℕ

Функция на ℕ

Каждому натуральному номеру n соответствует единственное число aₙ.
Индекс n

Порядковый номер

Строго целое положительное число (1, 2, 3, ...).

Дискретность аргумента

В отличие от функции f(x) непрерывного аргумента x ∈ ℝ, график последовательности представляет собой изолированные точки на плоскости с целочисленными абсциссами n = 1, 2, 3...

Шаг 1
Идентификация формулы
Записывают закон соответствия aₙ = f(n).
Шаг 2
Подстановка номеров
Поочередно подставляют n = 1, 2, 3 для нахождения первых членов.
Шаг 3
Анализ характера ряда
Наблюдают за динамикой изменения значений.
Обозначение числовой последовательности
(an):a1,a2,a3,...,an,...n∈N(a_n): a_1, a_2, a_3, ..., a_n, ... n ∈ ℕ
Раздел 2 из 5
2

2. Способы задания последовательностей

Существуют основные способы задания последовательностей: 1) Аналитический — с помощью формулы n-го члена, позволяющей вычислить любой член по его номеру n (например, aₙ = 2n - 1 или aₙ = (-1)ⁿ / n). 2) Рекуррентный — указывается один или несколько первых членов и формула, связывающая aₙ с предыдущими членами aₙ₋₁, aₙ₋₂ (например, a₁ = 1, aₙ₊₁ = 3aₙ + 2). 3) Словесный (описательный) — правило формулируется словами (например: последовательность простых чисел 2, 3, 5, 7, 11...).

Аналитический

Формула aₙ

Мгновенный доступ к любому члену без вычисления промежуточных.
Рекуррентный

Шаг от предка к потомку

Вычисление каждого следующего члена на основе предшествующих.

Последовательность Фибоначчи

Классический пример рекуррентности: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... Отношение соседних членов стремится к золотому сечению φ ≈ 1.618.

Шаг 1
Старт от начальных условий
Берут заданные значения базы рекурсии (a₁).
Шаг 2
Последовательный расчет
Шаг за шагом находят a₂, a₃, a₄.
Шаг 3
Поиск закономерности
При необходимости выводят формулу общего n-го члена.
Пример рекуррентной формулы Фибоначчи
F1=1,F2=1,Fn+1=Fn+Fn−1(n≥2)F_1 = 1, F_2 = 1, F_{n+1} = F_n + F_{n-1} (n \ge 2)
Раздел 3 из 5
3

3. Монотонные последовательности (возрастание и убывание)

Последовательность (aₙ) называют возрастающей, если каждый её член больше предыдущего: aₙ₊₁ > aₙ для всех n ∈ ℕ (то есть разность aₙ₊₁ - aₙ > 0). Последовательность называют убывающей, если каждый её член меньше предыдущего: aₙ₊₁ < aₙ для всех n ∈ ℕ (разность aₙ₊₁ - aₙ < 0). Возрастающие и убывающие последовательности объединяют термином монотонные. Если знаки чередуются (например, (-1)ⁿ), последовательность является знакочередующейся (немонотонной).

aₙ₊₁ > aₙ

Возрастающая

Каждый следующий элемент строго больше предыдущего.
aₙ₊₁ < aₙ

Убывающая

Каждый следующий элемент строго меньше предыдущего.

Отношение для положительных членов

Если все члены aₙ > 0, монотонность можно проверять по отношению aₙ₊₁ / aₙ: если оно > 1 — возрастает, если < 1 — убывает.

Шаг 1
Запись aₙ₊₁
В формулу aₙ вместо n подставляют n + 1.
Шаг 2
Вычисление разности
Упрощают выражение aₙ₊₁ - aₙ.
Шаг 3
Оценка знака при n ≥ 1
Доказывают постоянство знака полученного выражения для всех n ∈ ℕ.
Критерии монотонности по знаку разности
an+1−an>0  ⟹  возрастает;an+1−an<0  ⟹  убываетa_{n+1} - a_n > 0 \implies возрастает;\quad a_{n+1} - a_n < 0 \implies убывает
Раздел 4 из 5
4

4. Ограниченность последовательностей сверху и снизу

Последовательность (aₙ) называют ограниченной снизу, если существует такое число m, что aₙ ≥ m для всех n ∈ ℕ. Последовательность называют ограниченной сверху, если существует такое число M, что aₙ ≤ M для всех n ∈ ℕ. Последовательность, ограниченную и сверху, и снизу, называют просто ограниченной: существуют числа m и M такие, что m ≤ aₙ ≤ M (или |aₙ| ≤ K) для всех n ∈ ℕ. Например, aₙ = 1/n ограничена: 0 < aₙ ≤ 1.

m ≤ aₙ ≤ M

Ограниченная

Все члены ряда зажаты внутри конечного числового отрезка [m; M].
Неограниченная

Уход в бесконечность

Члены могут принимать сколь угодно большие значения (aₙ = n²).

Теорема Вейерштрасса о сходимости

Всякая монотонная и ограниченная последовательность имеет конечный предел. Это фундаментальная основа высшей математики и матанализа.

Шаг 1
Оценка поведения при n = 1
Находят граничное стартовое значение a₁.
Шаг 2
Оценка поведения при n → ∞
Анализируют, к чему приближаются члены при росте n.
Шаг 3
Указание констант m и M
Записывают двойное неравенство m ≤ aₙ ≤ M.
Условие ограниченности
∃K>0:∀n∈N  ⟹  ∣an∣≤K∃ K > 0 : ∀ n ∈ ℕ \implies |a_n| \le K
Раздел 5 из 5
5

5. Знакопеременные и периодические последовательности

Знакопеременными называют последовательности, члены которых меняют знак. Если знаки строго чередуются (+, -, +, -...), последовательность называют знакочередующейся (например, aₙ = (-1)ⁿ). Периодической называют последовательность, члены которой повторяются через фиксированный шаг T (период): aₙ₊ₜ = aₙ для всех n (например, aₙ = sin(πn/2) принимает значения 1, 0, -1, 0 с периодом T = 4).

(-1)ⁿ или (-1)ⁿ⁺¹

Осциллятор знака

Множитель, задающий чередование знаков в аналитической формуле.
aₙ₊ₜ = aₙ

Периодичность

Повторение значений через фиксированное натуральное число шагов T.

Первый член при чередовании

Если ряд начинается с положительного числа: (+, -, +, -...), пишут (-1)ⁿ⁺¹. Если с отрицательного: (-, +, -, +...), пишут (-1)ⁿ.

Шаг 1
Вычисление первых 4-6 членов
Записывают a₁, a₂, a₃, a₄, a₅.
Шаг 2
Проверка периодичности
Ищут повторяющийся цикл значений.
Шаг 3
Определение периода T
Фиксируют минимальное T такое, что aₙ₊ₜ = aₙ.
Формула знака
(−1)n=1,еслиnчетно;−1,еслиnнечетно(-1)^n = { 1, если n четно;\quad -1, если n нечетно }
Ваш прогресс по теме25%
Оглавление урока
Шпаргалка формул9 класс
Каноническое уравнение окружности:
(x−a)2+(y−b)2=R2(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2
n-й член арифметической прогрессии:
an=a1+d(n−1)aₙ = a_1 + d(n - 1)
Характеристическое свойство арифм. прогрессии:
aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁) / 2
Сумма n первых членов арифметической прогрессии:
Sn=((a1+an)/2)⋅n=((2a1+(n−1)d)/2)⋅nSₙ = ((a_1 + aₙ) / 2) \cdot n = ((2a_1 + (n - 1)d) / 2) \cdot n
Следующая тема

Арифметическая прогрессия и n-й член

Перейти к теме →