Понятие функции. Прямая пропорциональность и линейная функция

Функция — математическая модель зависимости между реальными величинами (давление от температуры, путь от времени, стоимость от количества).

Определение: числовой функцией называют такое соответствие (правило f) между двумя множествами, при котором каждому значению независимой переменной x из некоторого множества соответствует ЕДИНСТВЕННОЕ значение зависимой переменной y:

Терминология:

• Переменную x называют независимой переменной или аргументом функции;

• Переменную y называют зависимой переменной или значением функции;

Множества функции:

1. Область определения функции (D(f) или D(y)) — множество всех допустимых значений аргумента x, при которых формула функции имеет смысл (нет деления на ноль, извлечения четных корней из отрицательных чисел и т.д.);

2. Область значений функции (E(f) или E(y)) — множество всех значений, которые принимает зависимая переменная y при пробеге аргументом x всей области определения.

Способы задания функций: аналитический (формулой), табличный (таблицей значений), графический (графиком на координатной плоскости) и словесный.

Прямая пропорциональность — простейший и исторически первый изученный класс функций.

Определение: прямой пропорциональностью называют функцию, задаваемую формулой:

где k — постоянное число, отличное от нуля (k ≠ 0), называемое коэффициентом пропорциональности.

Свойства прямой пропорциональности:

1. Область определения D(y) = ℝ (любое действительное число);

2. Область значений E(y) = ℝ;

3. При x = 0 значение y = k · 0 = 0: график ВСЕГДА проходит через начало координат — точку O(0; 0);

4. Графиком функции y = kx является прямая линия, проходящая через начало координат.

Геометрический смысл коэффициента k:

• Если k > 0: прямая расположена в I и III координатных четвертях, угол наклона к положительному направлению оси Ox острый, функция монотонно возрастает;

• Если k < 0: прямая расположена во II и IV координатных четвертях, угол наклона тупой, функция монотонно убывает;

• Модуль |k| определяет крутизну подъема прямой: чем больше |k|, тем ближе прямая прижимается к вертикальной оси Oy.

Линейная функция — обобщение прямой пропорциональности со сдвигом по вертикальной оси.

Определение: линейной функцией называют функцию вида:

где k и b — заданные действительные числа.

Геометрический смысл параметров k и b:

1. Коэффициент k называют угловым коэффициентом прямой:

Он определяет наклон прямой к оси абсцисс. k = tg α (тангенс угла наклона);

2. Число b называют свободным членом (ординатой точки пересечения с осью Oy):

При x = 0 получаем y = k · 0 + b = b. Следовательно, прямая пересекает ось ординат в точке с координатами (0; b);

График функции y = kx + b получается параллельным сдвигом прямой y = kx вдоль оси Oy на |b| единиц (вверх при b > 0, вниз при b < 0).

Построение графика линейной функции:

Поскольку через любые две точки плоскости можно провести единственную прямую, для построения графика достаточно составить таблицу всего для двух точек x₁ и x₂:

• Точка 1 (пересечение с Oy): x = 0 → y = b → точка (0; b);

• Точка 2: выбрать любое удобное число x (например, x = 2 или корень y = 0 → x = -b/k).

Рассмотрим графики двух линейных функций: y₁ = k₁ · x + b₁ и y₂ = k₂ · x + b₂.

Критерии взаимного расположения прямых на плоскости:

1. Прямые пересекаются в единственной точке:

Условие: угловые коэффициенты прямых различны:

k₁ ≠ k₂.

Координаты точки пересечения (x₀; y₀) находят из решения уравнения k₁x + b₁ = k₂x + b₂;

Частный случай перпендикулярности прямых: k₁ · k₂ = -1;

2. Прямые параллельны и не совпадают:

Условие: угловые коэффициенты одинаковы, а свободные члены различны:

k₁ = k₂ и b₁ ≠ b₂.

Прямые имеют одинаковый наклон, но пересекают ось Oy на разной высоте;

3. Прямые совпадают (сливаются в одну):

Условие: совпадают и коэффициенты наклона, и свободные члены:

k₁ = k₂ и b₁ = b₂.

Кусочно-заданная функция — функция, заданная на разных числовых промежутках различными формулами.

Чтение графика функции — процесс извлечения геометрических и физических свойств по графическому рисунку:

1. Нахождение значения функции по графику: по оси Ox найти аргумент x₀, подняться/опуститься до графика и по оси Oy прочесть значение y₀ = f(x₀);

2. Нули функции — значения аргумента x, при которых значение функции равно нулю (y = 0). На графике нули функции — это абсциссы точек пересечения графика с осью Ox;

3. Промежутки знакопостоянства — числовые интервалы x, на которых график лежит выше оси Ox (y > 0) или ниже оси Ox (y < 0);

4. Промежутки возрастания и убывания — интервалы, на которых при движении слева направо линия графика поднимается вверх (возрастание) или опускается вниз (убывание).