Системы двух линейных уравнений с двумя переменными

Определение: линейным уравнением с двумя переменными x и y называют уравнение вида:

где a, b, c — заданные числа, причем a и b не равны нулю одновременно.

Решением уравнения с двумя переменными называют упорядоченную пару чисел (x₀; y₀), которая при подстановке обращает уравнение в верное числовое равенство.

Уравнение с двумя переменными имеет бесконечно много решений: задавая произвольное значение x, из уравнения всегда можно выразить и вычислить соответствующее значение y.

График линейного уравнения ax + by = c:

Графиком любого линейного уравнения с двумя переменными (при a ≠ 0 или b ≠ 0) на координатной плоскости (x, y) является ПРЯМАЯ ЛИНИЯ!

Для построения прямой достаточно найти координаты любых двух ее точек (удобно брать точки пересечения с осями координат: при x = 0 найти y, и при y = 0 найти x).

Если требуется найти общие решения двух уравнений с переменными x и y, говорят, что эти уравнения образуют систему уравнений (объединяются фигурной скобкой):

{ a₁x + b₁y = c₁,

{ a₂x + b₂y = c₂.

Решением системы уравнений называют пару чисел (x₀; y₀), которая одновременно является решением И первого, И второго уравнения системы.

Геометрический смысл числа решений (взаимное расположение двух прямых):

1. Прямые пересекаются в одной точке: система имеет ЕДИНСТВЕННОЕ решение. Условие: коэффициенты при переменных не пропорциональны:

a₁ / a₂ ≠ b₁ / b₂;

2. Прямые параллельны и не совпадают: система НЕ ИМЕЕТ решений (несовместна). Условие:

3. Прямые полностью совпадают: система имеет БЕСКОНЕЧНО МНОГО решений. Условие:

Способ подстановки — универсальный алгебраический метод, применимый не только к линейным, но и к любым нелинейным системам уравнений.

Пошаговый алгоритм способа подстановки:

1. Выбрать наиболее простое уравнение и выразить в нем одну переменную через другую (ту переменную, коэффициент перед которой равен 1 или -1);

2. Подставить полученное буквенное выражение вместо этой переменной во ВТОРОЕ уравнение системы (в результате получается уравнение с одной переменной!);

3. Решить полученное линейное уравнение с одной переменной и найти значение первой переменной;

4. Подставить найденное число в выражение для второй переменной и вычислить ее значение;

5. Записать ответ в виде упорядоченной пары (x; y).

Пример:

{ x - 2y = 3,

{ 3x + 4y = 19.

1. Из первого уравнения выразим x: x = 2y + 3;

2. Подставим во второе уравнение: 3(2y + 3) + 4y = 19;

3. Решаем: 6y + 9 + 4y = 19 → 10y = 10 → y = 1;

4. Находим x: x = 2 · 1 + 3 = 5;

5. Ответ: (5; 1).

Способ алгебраического сложения особенно эффективен, когда коэффициенты при одной из переменных являются противоположными числами или легко приводятся к ним.

Пошаговый алгоритм способа сложения:

1. Умножить (если необходимо) обе части одного или обоих уравнений на специально подобранные числа так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами (например, 3 и -3);

2. Почленно сложить левые и правые части обоих уравнений (при этом переменная с противоположными коэффициентами взаимно уничтожается: 3x + (-3x) = 0!);

3. Решить получившееся линейное уравнение с одной оставшейся переменной;

4. Найти вторую переменную, подставив найденное число в любое из исходных уравнений;

5. Записать ответ (x; y).

Пример:

{ 2x + 3y = 13,

{ 5x - 3y = 8.

1. Коэффициенты при y уже противоположны (+3 и -3). Складываем уравнения:

2. Подставляем x = 3 в первое уравнение: 2 · 3 + 3y = 13 → 6 + 3y = 13 → 3y = 7 → y = 7/3 = 2 1/3.

Ответ: (3; 2 1/3).

Многие текстовые задачи значительно проще и естественнее решать, вводя не одну, а две неизвестные переменные (x и y), и составляя систему двух уравнений.

Алгоритм решения задач с помощью систем уравнений:

1. Обозначить две неизвестные величины задачи буквами x и y;

2. На основе первого условия задачи составить первое уравнение;

3. На основе второго условия задачи составить второе уравнение;

4. Объединить уравнения в систему и решить удобным способом (подстановкой или сложением);

5. Проанализировать ответ на соответствие условию задачи.

Пример: сумма двух чисел равна 45, а их разность равна 11. Найдите эти числа.

Пусть первое число равно x, второе число равно y.

Составим систему:

{ x + y = 45,

{ x - y = 11.

Сложим уравнения: 2x = 56 → x = 28.

Вычтем уравнения: 2y = 34 → y = 17.

Ответ: числа 28 и 17.