Линейные уравнения с одной переменной и их практическое применение

Уравнение — аналитическая модель задач реального мира.

Определение: уравнением называют равенство, содержащее неизвестную переменную, значение которой требуется найти (обычно обозначается латинскими буквами x, y, z, t).

Корень уравнения — числовое значение переменной, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство. Решить уравнение — значит найти ВСЕ его корни или доказать, что корней не существует.

Равносильные уравнения — уравнения, имеющие одно и то же множество корней (или оба не имеющие корней).

Два основных свойства равносильности (теоремы о преобразовании уравнений):

1. Если к обеим частям уравнения прибавить (или вычесть) одно и то же число или буквенное выражение, то получится уравнение, равносильное исходному (следствие: слагаемые можно переносить из одной части уравнения в другую, МЕНЯЯ их знак на противоположный!);

2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное исходному.

Определение: линейным уравнением с одной переменной x называют уравнение вида:

где a и b — заданные действительные числа (a — коэффициент при неизвестном, b — свободный член).

Исследование числа корней линейного уравнения ax = b:

1. Случай 1 (a ≠ 0):

Уравнение имеет единственный корень:

Пример: 3x = 12 → x = 12 / 3 = 4;

2. Случай 2 (a = 0 и b = 0):

Уравнение принимает вид: 0 · x = 0.

Поскольку произведение нуля на любое число равно нулю, равенство 0 = 0 верно при АБСОЛЮТНО ЛЮБОМ значении x!

Уравнение имеет бесконечно много корней: x ∈ ℝ (любое действительное число);

3. Случай 3 (a = 0 и b ≠ 0):

Уравнение принимает вид: 0 · x = b (например, 0 · x = 7).

Так как 0 ≠ 7 ни при каком x, равенство невозможно.

Уравнение НЕ ИМЕЕТ корней (пустое множество: x ∈ ∅).

Большинство уравнений приводятся к базовому виду ax = b путем последовательных тождественных преобразований.

Универсальный пошаговый алгоритм:

1. Шаг 1 (раскрытие скобок): если уравнение содержит скобки, раскрыть их по правилам умножения одночлена на многочлен и формул сокращенного умножения;

2. Шаг 2 (группировка слагаемых): перенести все члены, содержащие неизвестную переменную x, в левую часть уравнения, а все свободные числа — в правую часть уравнения, не забывая менять знаки переносимых слагаемых на противоположные;

3. Шаг 3 (приведение подобных членов): привести подобные слагаемые в левой и правой частях, получив канонический вид ax = b;

4. Шаг 4 (нахождение корня): разделить обе части уравнения на коэффициент a (при a ≠ 0): x = b / a;

5. Шаг 5 (проверка): подставить найденное значение x в исходное уравнение и убедиться в верности равенства.

Пример: решить уравнение 4(2x - 3) - 3(x + 1) = 2x + 9.

1. Раскрываем скобки: 8x - 12 - 3x - 3 = 2x + 9;

2. Приводим подобные слева: 5x - 15 = 2x + 9;

3. Переносим слагаемые: 5x - 2x = 9 + 15;

4. Получаем: 3x = 24;

5. Делим на 3: x = 24 / 3 = 8.

Если уравнение содержит дроби с числовыми знаменателями, его решение упрощают избавлением от знаменателей.

Метод умножения на наименьший общий знаменатель (НОЗ):

1. Найти наименьшее общее кратное (НОК) всех числовых знаменателей уравнения;

2. Умножить обе части уравнения на это число (при этом каждый член уравнения умножается на НОЗ);

3. Сократить знаменатели, получив уравнение с целыми коэффициентами;

4. Решить полученное уравнение по стандартному алгоритму.

Пример: решить (x - 1) / 2 + (2x + 3) / 3 = 5.

НОК знаменателей 2 и 3 равен 6. Умножим обе части на 6:

6 · [ (x - 1) / 2 ] + 6 · [ (2x + 3) / 3 ] = 6 · 5

Метод основного свойства пропорции:

Если уравнение имеет вид дроби, равной дроби: A / B = C / D, то произведение крайних членов равно произведению средних (крест-накрест):

A · D = B · C (при B ≠ 0, D ≠ 0).

Решение практических задач с помощью уравнений называют методом математического моделирования.

Три этапа математического моделирования:

1. Этап 1 (составление модели): выбрать неизвестную величину и обозначить ее через x. Выразить через x все остальные величины задачи. На основе условия составить уравнение;

2. Этап 2 (работа с моделью): решить составленное уравнение математическими методами и найти значение x;

3. Этап 3 (анализ результата): сопоставить найденный корень с реальным физическим или практическим смыслом задачи (проверить, может ли число быть отрицательным, дробным, удовлетворяет ли условиям).

Классические типы текстовых задач 7 класса:

• Задачи на движение: s = v · t (путь = скорость × время, движение навстречу, вдогонку, по течению и против течения реки);

• Задачи на совместную работу: A = p · t (вся работа принимается за 1, производительность p = 1/t);

• Задачи на стоимость: Стоимость = Цена × Количество;

• Задачи на сплавы и смеси: концентрация = m_{вещества} / m_{раствора}.