Алгебраические дроби. Область допустимых значений и основное свойство

Алгебраическая (рациональная) дробь — дробь вида A / B, где A и B — многочлены, причем знаменатель B содержит переменные и не является нулевым многочленом.

Примеры: (x + 2) / (x - 3); (a² - b²) / (2ab); 5 / (y² + 1).

Если знаменатель не содержит переменных (например, (x + 3) / 5), такое выражение является целым, а не дробным.

Область допустимых значений (ОДЗ):

В арифметике деление на ноль строго запрещено. Поэтому алгебраическая дробь A / B имеет смысл только при тех значениях входящих в нее переменных, при которых знаменатель B не равен нулю (B ≠ 0).

ОДЗ рационального выражения — множество всех числовых значений переменных, при которых знаменатели всех входящих в него дробей отличны от нуля.

Примеры нахождения ОДЗ:

1. Дробь (2x - 1) / (x - 5): знаменатель x - 5 ≠ 0 → x ≠ 5. ОДЗ: x ∈ (-∞; 5) ∪ (5; +∞);

2. Дробь 7 / (x² - 9): x² - 9 ≠ 0 → (x - 3)(x + 3) ≠ 0 → x ≠ 3 и x ≠ -3. ОДЗ: x ≠ ±3;

3. Дробь x / (x² + 4): поскольку x² ≥ 0 при всех действительных x, то x² + 4 ≥ 4 > 0 всегда. ОДЗ: x — любое действительное число (x ∈ ℝ).

Основное свойство алгебраической дроби:

Если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить или разделить на один и тот же ненулевой многочлен M (M ≠ 0), то получится тождественно равная ей дробь:

Деление числителя и знаменателя на их общий множитель называют сокращением дроби.

Алгоритм сокращения алгебраической дроби:

1. Разложить числитель дроби на множители (вынесением за скобки, формулами сокращенного умножения или группировкой);

2. Разложить знаменатель дроби на множители теми же методами;

3. Найти одинаковые множители в числителе и знаменателе и сократить их (разделить на них);

4. Записать полученный несократимый результат.

Примеры:

1. (6a²b) / (9ab²) = (2a · 3ab) / (3b · 3ab) = 2a / (3b);

2. (x² - 9) / (2x - 6) = ((x - 3)(x + 3)) / (2(x - 3)) = (x + 3) / 2;

3. Смена знака: (a - b) / (b - a) = -(b - a) / (b - a) = -1.

1. Дроби с одинаковыми знаменателями:

Чтобы сложить (вычесть) дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить (вычесть) их числители, а знаменатель оставить прежним:

2. Дроби с разными знаменателями:

Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, их предварительно приводят к общему знаменателю.

Алгоритм приведения дробей к общему знаменателю:

1. Разложить на множители знаменатели всех дробей;

2. Составить наименьший общий знаменатель (НОЗ), включив в него все различные числовые и буквенные множители в наивысших степенях;

3. Найти дополнительный множитель для каждой дроби (разделив НОЗ на знаменатель этой дроби);

4. Умножить числитель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель;

5. Сложить числители и привести подобные члены в общем числителе;

6. По возможности сократить получившуюся итоговую дробь.

Правила действий с алгебраическими дробями полностью повторяют правила для обыкновенных числовых дробей.

1. Умножение дробей:

Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и перемножить их знаменатели:

Перед перемножением обязательно раскладывают все числители и знаменатели на множители и выполняют сокращение!

2. Деление дробей:

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую делитель):

(A / B) : (C / D) = (A / B) · (D / C) = (A · D) / (B · C) (C ≠ 0, D ≠ 0).

3. Возведение дроби в степень:

(A / B)ⁿ = Aⁿ / Bⁿ.

Рациональным выражением называют выражение, составленное из чисел и переменных с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень.

Порядок выполнения действий:

1. Действия в скобках;

2. Возведение в степень;

3. Умножение и деление (слева направо);

4. Сложение и вычитание.

Пример: упростить выражение [ (x + 1) / (x - 1) - (x - 1) / (x + 1) ] : [ 4x / (x² - 1) ].

1. Выполним вычитание в скобках:

НОЗ = (x - 1)(x + 1) = x² - 1.

Числитель: (x + 1)² - (x - 1)² = (x² + 2x + 1) - (x² - 2x + 1) = 4x.

Получаем дробь: 4x / (x² - 1).

2. Выполним деление:

[ 4x / (x² - 1) ] : [ 4x / (x² - 1) ] = 1.

Значение выражения при всех x ≠ ±1 тождественно равно 1!