Дифференциальные уравнения первого порядка
Понятие обыкновенного дифференциального уравнения, общее и частное решения, задача Коши, уравнения с разделяющимися переменными.
Дифференциальным уравнением (ДУ) называют уравнение, связывающее независимую переменную x, искомую неизвестную функцию y = y(x) и её производные различных порядков: F(x, y, y', y'', ..., y⁽ⁿ⁾) = 0. Порядком дифференциального уравнения называют наивысший порядок входящей в него производной. Дифференциальное уравнение первого порядка содержит производную не выше первого порядка: F(x, y, y') = 0 или в разрешенном относительно производной виде: y' = f(x, y).
ДУ первого порядка
Максимальная производная
Искомым объектом является функция
В обычных алгебраических уравнениях ищут неизвестное число x. В дифференциальных уравнениях ищут неизвестную ФУНКЦИЮ y(x).
Анализ входящих производных
Запись в форме Лейбница
Классификация типа ДУ
Общим решением ДУ первого порядка называют функцию вида y = φ(x, C), содержащую одну произвольную константу C, которая обращает уравнение в тождество при любом допустимом значении C. Геометрически общее решение представляет собой бесконечное семейство интегральных кривых на плоскости. Частным решением называют любое решение y = φ(x, C₀), полученное из общего решения при конкретном числовом значении C = C₀. Задача нахождения частного решения, удовлетворяющего начальному условию y(x₀) = y₀, называется задачей Коши.
Общее решение
Задача Коши
Теорема существования и единственности
Если функция f(x, y) непрерывна и гладка в окрестности точки (x₀; y₀), через эту точку проходит ровно одна интегральная кривая.
Нахождение общего решения
Подстановка начальных данных
Вычисление C₀
Уравнением с разделяющимися переменными называют ДУ вида y' = g(x) · h(y). Алгоритм решения: 1) Записывают производную через дифференциалы: dy / dx = g(x) · h(y); 2) Разделяют переменные: умножают на dx и делят на h(y) ≠ 0, чтобы все переменные y оказались слева с dy, а все x — справа с dx: dy / h(y) = g(x) dx; 3) Интегрируют обе части: ∫ dy / h(y) = ∫ g(x) dx + C. После взятия интегралов выражают y через x.
Разделение переменных
Сведение к квадратурам
Особые решения при делении на h(y)
При делении на h(y) корни уравнения h(y) = 0 могут быть потеряны! Их необходимо проверить отдельно: если y = b обращает h(b) = 0, то y = b — постоянное решение.
Замена y' на dy / dx
Разделение переменных по сторонам
Интегрирование обеих частей
Простейшее фундаментальное ДУ y' = k · y утверждает, что скорость изменения величины прямо пропорциональна её текущему значению. Разделяя переменные: dy / y = k dx => ln |y| = kx + C₁ => |y| = e^{kx + C₁} = e^{C₁} · e^{kx}. Обозначая ±e^{C₁} через произвольную постоянную C, получают общее решение: y(x) = C · e^{kx}. Если при x = 0 задано начальное значение y(0) = y₀, то частное решение принимает канонический вид: y(x) = y₀ · e^{kx}. При k > 0 величина экспоненциально растет, при k < 0 — экспоненциально затухает.
Экспоненциальный закон
Рост или распад
Всеобъемлющий закон природы
Этому простейшему уравнению подчиняются: размножение бактерий, распространение эпидемий на начальной стадии, радиоактивный распад атомов и капитализация непрерывных процентов.
Идентификация уравнения y' = ky
Запись общего вида y = C · e^{kt}
Определение y₀ и k
Закон теплоотдачи Ньютона формулируется дифференциальным уравнением: скорость остывания нагретого тела прямо пропорциональна разности температур между телом T(t) и окружающей средой Tср: dT/dt = -k(T - Tср), где k > 0 — коэффициент теплопередачи. Разделяя переменные: dT / (T - Tср) = -k dt => ln(T - Tср) = -kt + C. Отсюда получаем частное решение задачи Коши: T(t) = Tср + (T₀ - Tср) · e^{-kt}, где T₀ — начальная температура тела при t = 0.
Закон охлаждения Ньютона
Термодинамическое равновесие
Криминалистическая экспертиза
Закон остывания Ньютона используется судебными медицинскими экспертами для точного определения времени наступления биологической смерти по остаточной температуре тела.