ibrain.kz
RUKZ
Предыдущая тема|Следующая: Сумма геометрической прогрессии и бесконечно убывающая прогрессия
Алгебра · 9 класс3 четвертьТема 6ГОСО РК 2026Базовый

Геометрическая прогрессия и n-й член

Определение геометрической прогрессии, знаменатель q, формула n-го члена и характеристическое свойство.

Время изучения~75 минтеория + практика
Разделы темы5 разд.пошаговый разбор
Тест темы3 вопр.с мгновенным ответом
СОР / СОЧ3 четвертьдескрипторы ГОСО
Раздел 1 из 5
1

1. Определение геометрической прогрессии и знаменатель q

Геометрической прогрессией называют числовую последовательность с отличным от нуля первым членом (b₁ ≠ 0), каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же ненулевое число q: bₙ₊₁ = bₙ · q. Число q называют знаменателем геометрической прогрессии. Знаменатель равен отношению любого члена прогрессии к предшествующему: q = bₙ₊₁ / bₙ. Если q > 1 и b₁ > 0, прогрессия возрастает; если 0 < q < 1 и b₁ > 0, прогрессия убывает; если q < 0, члены прогрессии чередуют знаки (знакопеременная прогрессия).

bₙ₊₁ = bₙ · q

Определение прогрессии

Каждый шаг умножается на фиксированный мультипликатор q ≠ 0.
q = bₙ₊₁ / bₙ

Знаменатель q

Отношение последующего члена к предыдущему.

Экспоненциальный закон роста

В отличие от равномерной арифметической прогрессии, геометрическая прогрессия растет или убывает лавинообразно (экспоненциально).

Шаг 1
Нахождение знаменателя q
Делят второй член на первый: q = b₂ / b₁.
Шаг 2
Проверка условия прогрессии
Убеждаются, что b₃ / b₂ = q.
Шаг 3
Анализ знака и величины q
Определяют тип: возрастающая, убывающая или знакочередующаяся.
Рекуррентное соотношение геометрической прогрессии
bn+1=bn⋅q;q=b2b1=b3b2=...=bn+1bnb_{n+1} = b_n \cdot q;\quad q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{b_3}{b_2} = ... = \frac{b_{n+1}}{b_n}
Раздел 2 из 5
2

2. Формула общего (n-го) члена геометрической прогрессии

Чтобы найти n-й член прогрессии, первый член b₁ последовательно умножают на знаменатель q ровно (n - 1) раз. Получают формулу общего члена: bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹. Для любых двух членов с номерами n и k (где n > k) справедливо соотношение bₙ = bₖ · qⁿ⁻ᵏ, откуда знаменатель можно выразить через корень степени: qⁿ⁻ᵏ = bₙ / bₖ.

bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹

Формула n-го члена

Позволяет мгновенно вычислить значение любого члена по его номеру n.
qⁿ⁻ᵏ = bₙ / bₖ

Связь произвольных членов

Нахождение знаменателя через два произвольных члена прогрессии.

Степень n - 1

Не путайте показатель степени: для первого члена q в степени 1 - 1 = 0 (b₁ · q⁰ = b₁). Поэтому степень всегда на единицу меньше номера!

Шаг 1
Определение b₁ и q
Выписывают значения начального члена и множителя q.
Шаг 2
Вычисление степени qⁿ⁻¹
Возводят число q в степень (n - 1).
Шаг 3
Умножение на b₁
Находят итоговое значение bₙ.
Формула n-го члена геометрической прогрессии
bn=b1⋅qn−1;bn=bk⋅qn−kb_n = b_1 \cdot q^{n-1};\quad b_n = b_k \cdot q^{n-k}
Раздел 3 из 5
3

3. Характеристическое свойство геометрической прогрессии

Последовательность положительных чисел является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый её член, начиная со второго, равен среднему геометрическому своих соседей: bₙ = √(bₙ₋₁ · bₙ₊₁). В общем случае для любых знаков характеристическое свойство формулируется через квадраты: квадрат любого члена равен произведению его соседних членов: bₙ² = bₙ₋₁ · bₙ₊₁ (∀ n ≥ 2). Это свойство обобщается на любые равноотстоящие члены: bₙ² = bₙ₋ₖ · bₙ₊ₖ.

bₙ² = bₙ₋₁ · bₙ₊₁

Характеристическое свойство

Квадрат центрального элемента равен произведению соседей.
Среднее геометрическое

Для положительных членов

bₙ = √(bₙ₋₁ · bₙ₊₁) — историческое происхождение названия.

Решение уравнений с параметром

Если три выражения образуют геометрическую прогрессию, составьте уравнение: (средний член)² = (первый член) · (третий член).

Шаг 1
Фиксация трех членов
Записывают bₙ₋₁, bₙ, bₙ₊₁.
Шаг 2
Составление уравнения
Приравнивают bₙ² = bₙ₋₁ · bₙ₊₁.
Шаг 3
Проверка условия q ≠ 0
Решают уравнение и отбрасывают значения, при которых члены равны 0.
Характеристическое тождество геометрической прогрессии
bn2=bn−1⋅bn+1,∀n≥2b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}, ∀ n \ge 2
Раздел 4 из 5
4

4. Знакопеременные и колеблющиеся прогрессии (q < 0)

Если знаменатель геометрической прогрессии отрицателен (q < 0), члены последовательности строго чередуют знак: положительный, отрицательный, положительный и т.д. График такой прогрессии состоит из точек, «прыгающих» по обе стороны от оси абсцисс. При |q| > 1 амплитуда колебаний неограниченно нарастает, а при |q| < 1 колебания затухают, стягиваясь к нулю.

q < 0

Знакочередование

Члены меняют знак на каждом шаге за счет степени (-1)ⁿ.
|q| < 1

Затухающие колебания

Абсолютная величина членов стремится к нулю при n → ∞.

Осторожность при извлечении корней

Если известно bₙ² = C, то bₙ = ±√C. При нахождении q из равенства q² = 4 получаем два возможных знаменателя: q = +2 и q = -2.

Шаг 1
Анализ знаков членов
Проверяют наличие чередования знаков.
Шаг 2
Выделение модуля и знака
Находят модуль |q| и учитывают знак минус.
Шаг 3
Рассмотрение двух ветвей решения
Если знак q не задан явно, исследуют оба случая: q > 0 и q < 0.
Общий вид знакочередующейся прогрессии
bn=b1⋅(−∣q∣)n−1=b1⋅(−1)n−1∣q∣n−1b_n = b_1 \cdot (-|q|)^{n-1} = b_1 \cdot (-1)^{n-1} |q|^{n-1}
Раздел 5 из 5
5

5. Прикладные задачи: сложные проценты и закон Мура

Геометрическая прогрессия лежит в основе формулы сложных процентов (начисление процентов на проценты): капитал через n периодов равен Kₙ = K₀ · (1 + p/100)ⁿ, где знаменателем служит q = 1 + p/100. Другие примеры: размножение бактерий (деление надвое каждые 20 минут: 1, 2, 4, 8, 16...), закон Мура в микроэлектронике (удвоение транзисторов в микрочипах каждые 2 года), цепочечные цепные реакции и радиоактивный распад (период полураспада, q = 1/2).

Kₙ = K₀(1 + p/100)ⁿ

Сложные проценты

Экспоненциальный рост банковских депозитов и инвестиций.
q = 2 (удвоение)

Бинарное деление

Модель роста популяций и информационных массивов.

Правило семидесяти

Для быстрой оценки удвоения суммы разделите 70 на годовую процентную ставку: при 7% годовых капитал удвоится примерно за 70 / 7 = 10 лет.

Шаг 1
Определение базового капитала K₀
Фиксируют исходное количество вещества или денег.
Шаг 2
Расчет множителя шага q
Находят q = 1 + p/100 при росте или q = 1 - p/100 при убыли.
Шаг 3
Возведение в степень n
Умножают K₀ на qⁿ для получения итоговой величины.
Формула сложного процентного роста
Kn=K0⋅(1+p100)n,гдеq=1+p100K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n, где q = 1 + \frac{p}{100}
Ваш прогресс по теме25%
Оглавление урока
Шпаргалка формул9 класс
Каноническое уравнение окружности:
(x−a)2+(y−b)2=R2(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2
n-й член арифметической прогрессии:
an=a1+d(n−1)aₙ = a_1 + d(n - 1)
Характеристическое свойство арифм. прогрессии:
aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁) / 2
Сумма n первых членов арифметической прогрессии:
Sn=((a1+an)/2)⋅n=((2a1+(n−1)d)/2)⋅nSₙ = ((a_1 + aₙ) / 2) \cdot n = ((2a_1 + (n - 1)d) / 2) \cdot n
Следующая тема

Сумма геометрической прогрессии и бесконечно убывающая прогрессия

Перейти к теме →