Определенный интеграл и формула Ньютона — Лейбница

Пусть функция y = f(x) непрерывна и неотрицательна на отрезке [a; b]. Фигуру, ограниченную сверху графиком y = f(x), снизу осью Ox, а по бокам вертикальными отрезками x = a и x = b, называют криволинейной трапецией. Чтобы найти её площадь, отрезок [a; b] разбивают на n частей точками x₀ < x₁ < ... < xₙ, строят ступенчатую фигуру из прямоугольников со сторонами Δxᵢ и f(ξᵢ) и составляют интегральную сумму Римана: Sₙ = ∑ f(ξᵢ) Δxᵢ. Предел этой суммы при стремлении максимального шага разбиения к нулю называют определенным интегралом от функции f(x) по отрезку [a; b].

Теорема Ньютона — Лейбница связывает операцию вычисления площадей (интегрирование Римана) с понятием первообразной: если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], а F(x) — любая её первообразная на этом отрезке, то определенный интеграл равен разности значений первообразной на концах отрезка: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) - F(a). Разность F(b) - F(a) кратко записывают символом двойной подстановки: F(x)|ₐᵇ.

Определенный интеграл обладает фундаментальными свойствами: 1) Совпадение пределов: ∫ₐᵃ f(x) dx = 0; 2) Перестановка пределов меняет знак: ∫ₐᵇ f(x) dx = -∫_bᵃ f(x) dx; 3) Аддитивность по отрезку: для любой точки c ∈ [a; b] выполняется ∫ₐᵇ f(x) dx = ∫ₐᶜ f(x) dx + ∫_cᵇ f(x) dx; 4) Линейность: ∫ₐᵇ [α f(x) + β g(x)] dx = α ∫ₐᵇ f(x) dx + β ∫ₐᵇ g(x) dx; 5) Сохранение неравенств: если f(x) ≤ g(x) на [a; b], то ∫ₐᵇ f dx ≤ ∫ₐᵇ g dx.

Геометрически определенный интеграл ∫ₐᵇ f(x) dx равен алгебраической (ориентированной) сумме площадей фигур, заключенных между графиком y = f(x) и осью Ox. Участки графика, лежащие выше оси абсцисс (f(x) ≥ 0), дают вклад в интеграл с положительным знаком (+S₁), а участки графика, лежащие ниже оси абсцисс (f(x) ≤ 0), дают вклад с отрицательным знаком (-S₂). Итоговое значение интеграла равно S₁ - S₂.

Определенный интеграл лежит в основе вычисления физических величин, меняющихся во времени или пространстве: 1) Путь, пройденный точкой при неравномерном движении: s = ∫_{t₁}^{t₂} v(t) dt; 2) Работа переменной силы F(x): A = ∫ₐᵇ F(x) dx (например, работа растяжения пружины A = ∫₀ˣ kx dx = kx²/2); 3) Электрический заряд, прошедший через проводник при переменном токе: q = ∫_{t₁}^{t₂} I(t) dt; 4) Масса неоднородного стержня линейной плотности ρ(x): m = ∫₀ᴸ ρ(x) dx.