ibrain.kz
RUKZ
Предыдущая тема|Следующая: Элементы комбинаторики и основы теории вероятностей
Алгебра · 9 класс4 четвертьТема 9ГОСО РК 2026Базовый

Основные тригонометрические тождества и формулы приведения

Основное тригонометрическое тождество, соотношения между тангенсом и косинусом, формулы приведения для углов 90° ± α, 180° - α.

Время изучения~75 минтеория + практика
Разделы темы5 разд.пошаговый разбор
Тест темы2 вопр.с мгновенным ответом
СОР / СОЧ4 четвертьдескрипторы ГОСО
Раздел 1 из 5
1

1. Основное тригонометрическое тождество и следствия

Точка M(cos α; sin α) лежит на окружности радиуса 1 с уравнением x² + y² = 1. Подставляя координаты точки, получают фундаментальное соотношение тригонометрии — основное тригонометрическое тождество: sin²α + cos²α = 1. Из него вытекают формулы взаимного выражения: sin α = ±√(1 - cos²α) и cos α = ±√(1 - sin²α), где знак перед корнем определяется четвертью, в которой лежит угол α.

sin²α + cos²α = 1

Основное тождество

Алгебраическое выражение теоремы Пифагора для единичной окружности.
Выбор знака ±

Четверть угла

Знак перед корнем строго диктуется четвертью угла α.

Никогда не забывайте про квадрат

Выражение sin α + cos α не равно 1! Единице равна только сумма КВАДРАТОВ синуса и косинуса одного и того же угла.

Шаг 1
Запись тождества
Записывают sin²α + cos²α = 1.
Шаг 2
Вычисление квадрата неизвестной функции
Находят 1 - известное значение в квадрате.
Шаг 3
Извлечение корня с правильным знаком
Определяют четверть угла и выбирают плюс или минус.
Основное тригонометрическое тождество
sin⁡2α+cos⁡2α=1;sin⁡α=±1−cos⁡2α;cos⁡α=±1−sin⁡2α\sin^2α + \cos^2α = 1;\quad \sin α = \pm\sqrt{1 - \cos^2α};\quad \cos α = \pm\sqrt{1 - \sin^2α}
Раздел 2 из 5
2

2. Связь между тангенсом, котангенсом и косинусом

Перемножая тангенс и котангенс, получают тождество взаимной обратности: tg α · ctg α = 1 (при cos α ≠ 0, sin α ≠ 0). Если разделить основное тождество sin²α + cos²α = 1 почленно на cos²α, получают важнейшую формулу: 1 + tg²α = 1 / cos²α. Аналогично, деление на sin²α дает: 1 + ctg²α = 1 / sin²α. Эти формулы позволяют мгновенно находить cos α или sin α напрямую через значение тангенса.

tg α · ctg α = 1

Взаимная обратность

tg α и ctg α — взаимно обратные величины.
1 + tg²α = 1 / cos²α

Связь tg и cos

Позволяет найти косинус без нахождения синуса.

Экономия шагов в задачах

Если известен tg α = 2, не нужно решать систему: сразу cos²α = 1 / (1 + 2²) = 1/5, откуда cos α = ±1/√5.

Шаг 1
Возведение tg α в квадрат
Находят tg²α.
Шаг 2
Вычисление 1 + tg²α
Находят правую часть формулы 1/cos²α.
Шаг 3
Обращение дроби и взятие корня
Находят cos²α и извлекают корень с учетом знака четверти.
Связь тангенса с косинусом и котангенса с синусом
1+tg2α=1cos⁡2α;1+ctg2α=1sin⁡2α1 + \text{tg}^2α = \frac{1}{\cos^2α};\quad 1 + \text{ctg}^2α = \frac{1}{\sin^2α}
Раздел 3 из 5
3

3. Формулы приведения для дополнительного угла 90° - α

Углы α и 90° - α в сумме дают 90° (острые углы одного прямоугольного треугольника). Катет, противолежащий углу α, является прилежащим к углу 90° - α. Поэтому синус одного угла равен косинусу другого, а тангенс равен котангенсу: sin(90° - α) = cos α, cos(90° - α) = sin α, tg(90° - α) = ctg α, ctg(90° - α) = tg α. Эти равенства называют формулами кофункций (дополнительных углов).

sin(90° - α) = cos α

Кофункции

Синус переходит в косинус, а тангенс — в котангенс.
Сумма углов 90°

Симметрия относительно диагонали

Отражение точек единичной окружности относительно биссектрисы y = x.

Происхождение названия косинус

Латинское слово «complementi sinus» означает буквально «синус дополнения» (до 90°).

Шаг 1
Выделение угла 90° - α
Представляют аргумент в виде разности 90° - острый угол.
Шаг 2
Замена функции на кофункцию
Меняют sin ↔ cos, tg ↔ ctg.
Шаг 3
Сохранение положительного знака
В первой четверти все результаты положительны.
Формулы приведения для угла (90° - α)
sin⁡(90∘−α)=cos⁡α;cos⁡(90∘−α)=sin⁡α;tg(90∘−α)=ctg α\sin(90^\circ - α) = \cos α;\quad \cos(90^\circ - α) = \sin α;\quad \text{tg}(90^\circ - α) = \text{ctg } α
Раздел 4 из 5
4

4. Формулы приведения для смежных углов 180° - α

Углы α и 180° - α являются смежными. На единичной полуокружности точки M₁(cos α; sin α) и M₂(cos(180° - α); sin(180° - α)) симметричны относительно вертикальной оси Oy. У них одинаковые ординаты и противоположные абсциссы. Отсюда следуют формулы приведения для смежных углов: sin(180° - α) = sin α, cos(180° - α) = -cos α, tg(180° - α) = -tg α, ctg(180° - α) = -ctg α.

sin(180° - α) = sin α

Синус смежного угла

Синусы смежных углов равны между собой.
cos(180° - α) = -cos α

Косинус смежного угла

Косинусы смежных углов противоположны по знаку.

Применение в геометрии

В параллелограмме сумма соседних углов равна 180°, поэтому синусы соседних углов строго одинаковы: sin A = sin B.

Шаг 1
Представление угла через 180° - α
Например, 150° = 180° - 30°.
Шаг 2
Сохранение наименования функции
Функция не меняется (синус остается синусом).
Шаг 3
Учет знака
Синусу оставляют плюс, для остальных функций ставят минус.
Формулы приведения для смежных углов (180° - α)
sin⁡(180∘−α)=sin⁡α;cos⁡(180∘−α)=−cos⁡α;tg(180∘−α)=−tg α\sin(180^\circ - α) = \sin α;\quad \cos(180^\circ - α) = -\cos α;\quad \text{tg}(180^\circ - α) = -\text{tg } α
Раздел 5 из 5
5

5. Мнемоническое правило («правило лошади») для формул приведения

Для быстрого запоминания всех формул приведения используют универсальное мнемоническое правило из двух шагов: 1) Название функции: если угол содержит 90° (вертикальная ось, «кивок головой вверх-вниз — да»), то функция меняется на родственную (кофункцию: sin ↔ cos, tg ↔ ctg). Если угол содержит 180° (горизонтальная ось, «мотание головой влево-вправо — нет»), функция НЕ меняется. 2) Знак результата: определяется знаком исходной функции в той четверти, куда попадает угол при остром α.

90° (вертикаль) — ДА

Смена названия

Функция меняется на кофункцию (sin на cos).
180° (горизонталь) — НЕТ

Сохранение названия

Наименование исходной функции сохраняется.

Знак смотрится по ИСХОДНОЙ функции

Частая ошибка: смотреть знак по полученной новой функции. Знак всегда определяется исключительно по левой части исходного равенства!

Шаг 1
Определение оси
90° — вертикаль (меняем функцию), 180° — горизонталь (не меняем).
Шаг 2
Определение четверти аргумента
Считая α малым острым углом, определяют номер четверти.
Шаг 3
Определение знака левой части
Ставят знак, который имеет исходная функция в этой четверти.
Два шага мнемонического правила
1)Сменафункции:90∘  ⟹  меняется,180∘  ⟹  не меняется;2)Знак по исходной функции1) Смена функции: 90^\circ \implies \text{меняется}, 180^\circ \implies \text{не меняется};\quad 2) \text{Знак по исходной функции}
Ваш прогресс по теме25%
Оглавление урока
Шпаргалка формул9 класс
Каноническое уравнение окружности:
(x−a)2+(y−b)2=R2(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2
n-й член арифметической прогрессии:
an=a1+d(n−1)aₙ = a_1 + d(n - 1)
Характеристическое свойство арифм. прогрессии:
aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁) / 2
Сумма n первых членов арифметической прогрессии:
Sn=((a1+an)/2)⋅n=((2a1+(n−1)d)/2)⋅nSₙ = ((a_1 + aₙ) / 2) \cdot n = ((2a_1 + (n - 1)d) / 2) \cdot n
Следующая тема

Элементы комбинаторики и основы теории вероятностей

Перейти к теме →