ibrain.kz
RUKZ
Предыдущая тема|Следующая: Функции, их свойства и графики
Алгебра · 9 класс4 четвертьТема 10ГОСО РК 2026Базовый

Элементы комбинаторики и основы теории вероятностей

Правило суммы и произведения, факториал n!, перестановки, размещения, сочетания и классическая вероятность.

Время изучения~75 минтеория + практика
Разделы темы5 разд.пошаговый разбор
Тест темы2 вопр.с мгновенным ответом
СОР / СОЧ4 четвертьдескрипторы ГОСО
Раздел 1 из 5
1

1. Основные правила комбинаторики: правило суммы и правило произведения

Комбинаторика изучает количество способов выбрать или упорядочить элементы конечных множеств: 1) Правило суммы: если объект A можно выбрать m способами, а объект B — n способами (причем выбор A исключает выбор B, то есть множества не пересекаются), то выбор «A ИЛИ B» можно осуществить (m + n) способами. 2) Правило произведения: если объект A можно выбрать m способами, и после каждого такого выбора объект B можно выбрать n способами, то пару «A И B» можно выбрать (m · n) способами.

A ИЛИ B => m + n

Правило суммы

Применяется при взаимоисключающем альтернативном выборе.
A И B => m · n

Правило произведения

Применяется при последовательном независимом комбинировании.

Союзы ИЛИ и И

Союз «ИЛИ» в комбинаторных задачах почти всегда указывает на сложение (+), а союз «И» — на умножение (·).

Шаг 1
Анализ независимости событий
Определяют, связаны ли выборы последовательно или взаимоисключают друг друга.
Шаг 2
Подсчет вариантов для каждого шага
Находят количество способов m и n.
Шаг 3
Применение правила
Складывают (при «ИЛИ») или перемножают (при «И»).
Правило произведения (декартово произведение)
N(A×B)=m⋅n;N(A∪B)=m+n(приA∩B=∅)N(A \times B) = m \cdot n;\quad N(A \cup B) = m + n (при A \cap B = \emptyset)
Раздел 2 из 5
2

2. Понятие факториала числа и перестановки Pₙ

Факториалом натурального числа n (обозначается n!) называют произведение всех натуральных чисел от 1 до n: n! = 1 · 2 · 3 · ... · n. По определению принимают 0! = 1. Перестановками из n различных элементов называют любые упорядоченные комбинации, составленные из всех этих n элементов, различающиеся только порядком их следования. Число всех перестановок из n элементов равно Pₙ = n! (например, 3 книги на полке можно расставить P₃ = 3! = 6 способами).

n! = 1 · 2 · ... · n

Факториал

Быстрорастущая функция произведения последовательных целых чисел.
Pₙ = n!

Перестановки

Количество способов упорядочить n различных элементов.

Сокращение факториалов

Отношение n! / (n - 1)! всегда равно n. Например, 10! / 8! = (8! · 9 · 10) / 8! = 90.

Шаг 1
Проверка условия задачи
Убеждаются, что используются ВСЕ n элементов без повторений.
Шаг 2
Определение числа элементов n
Фиксируют общее количество объектов.
Шаг 3
Вычисление n!
Перемножают натуральные числа от 1 до n.
Формула числа перестановок
Pn=n!=n⋅(n−1)⋅(n−2)⋅...⋅2⋅1;0!=1P_n = n! = n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot ... \cdot 2 \cdot 1;\quad 0! = 1
Раздел 3 из 5
3

3. Размещения без повторений Aₙᵏ

Размещениями из n элементов по k (где k ≤ n) называют любые упорядоченные подмножества из k элементов, выбранных из данных n элементов. Размещения отличаются друг от друга либо составом выбранных элементов, либо порядком их следования. Число размещений вычисляется по формуле: Aₙᵏ = n · (n - 1) · ... · (n - k + 1) = n! / (n - k)!. Например, выбор старосты и его заместителя из 20 учеников: A₂₀² = 20 · 19 = 380 способов (порядок важен, так как должности разные).

Aₙᵏ = n! / (n - k)!

Размещения

Выбор k элементов из n, когда ПОРЯДОК ИМЕЕТ ЗНАЧЕНИЕ.
Важность порядка

Роли и позиции

Комбинации (A, B) и (B, A) считаются РАЗНЫМИ исходами.

Связь перестановок и размещений

Перестановка — это частный случай размещения, когда k = n: Aₙⁿ = n! / 0! = n! = Pₙ.

Шаг 1
Проверка важности порядка
Убеждаются, что порядок элементов в выборке имеет значение.
Шаг 2
Определение n и k
n — из скольких выбирают, k — сколько мест распределяют.
Шаг 3
Расчет Aₙᵏ
Умножают k последовательных убывающих чисел, начиная с n.
Формула числа размещений
Ank=n!(n−k)!=n(n−1)(n−2)...(n−k+1)A_n^k = \frac{n!}{(n - k)!} = n(n - 1)(n - 2)...(n - k + 1)
Раздел 4 из 5
4

4. Сочетания без повторений Cₙᵏ (биномиальные коэффициенты)

Сочетаниями из n элементов по k называют любые неупорядоченные группы из k элементов, выбранных из n данных элементов. Сочетания отличаются друг от друга ТОЛЬКО составом элементов, а порядок их расположения роли не играет. Число сочетаний обозначают Cₙᵏ и вычисляют по формуле: Cₙᵏ = Aₙᵏ / Pₖ = n! / (k!(n - k)!). Например, выбор дежурной пары из 20 учеников: C₂₀² = (20 · 19) / (2 · 1) = 190 способов (порядок в паре безразличен). Свойство симметрии сочетаний: Cₙᵏ = Cₙⁿ⁻ᵏ.

Cₙᵏ = n! / (k!(n - k)!)

Сочетания

Выбор k элементов из n, когда ПОРЯДОК НЕ ВАЖЕН.
Cₙᵏ = Cₙⁿ⁻ᵏ

Симметрия сочетаний

Выбрать k элементов — то же самое, что отбросить оставшиеся (n - k).

Главный маркер: «Важен ли порядок?»

Если порядок важен (пароль, призеры 1-2-3 места, распределение ролей) — это размещения Aₙᵏ. Если порядок не важен (команда, горсть конфет, выигрышные номера лотереи) — это сочетания Cₙᵏ.

Шаг 1
Анализ роли порядка
Если порядок безразличен, выбирают формулу сочетаний Cₙᵏ.
Шаг 2
Симметричное упрощение
Если k > n/2, используют Cₙᵏ = Cₙⁿ⁻ᵏ для уменьшения вычислений.
Шаг 3
Вычисление дроби
Делят Aₙᵏ на k!.
Формула числа сочетаний
Cnk=(nk)=n!k!(n−k)!;Cnk=Cnn−kC_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n - k)!};\quad C_n^k = C_n^{n - k}
Раздел 5 из 5
5

5. Классическое определение вероятности случайного события

Случайным событием A называют исход эксперимента, который может произойти или не произойти. Классической вероятностью события A называют отношение числа элементарных исходов m, благоприятствующих наступлению события A, к общему числу n всех равновозможных несовместных элементарных исходов испытания: P(A) = m / n. Вероятность достоверного события равна 1: P(Ω) = 1; невозможного события — 0: P(∅) = 0. Для любого случайного события: 0 ≤ P(A) ≤ 1. Вероятность противоположного события Ā: P(Ā) = 1 - P(A).

P(A) = m / n

Классическая вероятность

Отношение благоприятных исходов к общему числу возможных.
P(Ā) = 1 - P(A)

Противоположное событие

Сумма вероятностей взаимоисключающих событий равна 1.

Связь комбинаторики и теории вероятностей

Числа m и n в формуле классической вероятности P(A) = m / n почти всегда вычисляются с помощью формул перестановок, размещений или сочетаний!

Шаг 1
Подсчет общего числа исходов n
Определяют полное число всех равновероятных исходов испытания.
Шаг 2
Подсчет благоприятных исходов m
Определяют число исходов, удовлетворяющих условию события A.
Шаг 3
Вычисление отношения m / n
Делят m на n и записывают вероятность десятичной дробью или процентом.
Формула классической вероятности
P(A)=mn,где0≤P(A)≤1;P(Aˉ)=1−P(A)P(A) = \frac{m}{n}, где 0 \le P(A) \le 1;\quad P(\bar{A}) = 1 - P(A)
Ваш прогресс по теме25%
Оглавление урока
Шпаргалка формул9 класс
Каноническое уравнение окружности:
(x−a)2+(y−b)2=R2(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2
n-й член арифметической прогрессии:
an=a1+d(n−1)aₙ = a_1 + d(n - 1)
Характеристическое свойство арифм. прогрессии:
aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁) / 2
Сумма n первых членов арифметической прогрессии:
Sn=((a1+an)/2)⋅n=((2a1+(n−1)d)/2)⋅nSₙ = ((a_1 + aₙ) / 2) \cdot n = ((2a_1 + (n - 1)d) / 2) \cdot n
Следующая тема

Функции, их свойства и графики

Перейти к теме →