Функции, их свойства и графики

Функцией называют правило y = f(x), по которому каждому значению независимой переменной x из множества X ставится в соответствие единственное значение зависимой переменной y из множества Y. Множество X допустимых значений аргумента называют областью определения функции D(f). Ограничения на D(f) накладывают деление на ноль, извлечение корней четной степени из отрицательных чисел, отрицательные основания логарифмов и др. Множество всех принимаемых функцией значений Y называют областью значений E(f).

Функция f(x) называется четной, если её область определения симметрична относительно нуля и для любого x ∈ D(f) выполняется равенство f(-x) = f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат Oy (например, y = x², y = cos x). Функция называется нечетной, если её область определения симметрична относительно нуля и для любого x ∈ D(f) выполняется f(-x) = -f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат (0; 0) (например, y = x³, y = sin x, y = 1/x). Если равенство не выполняется, функция общего вида.

Функцию f(x) называют периодической с периодом T ≠ 0, если для любого x ∈ D(f) числа x + T и x - T также принадлежат D(f) и выполняется тождество: f(x + T) = f(x). Наименьший положительный период T₀ называют основным (главным) периодом функции. Например, для функций y = sin x и y = cos x основной период T = 2π, для y = tg x и y = ctg x — T = π. Если функция f(x) имеет период T, то функция f(kx + b) имеет период T / |k|.

Функция возрастает на интервале (a; b), если большему значению аргумента соответствует большее значение функции: x₁ < x₂ => f(x₁) < f(x₂). Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции: x₁ < x₂ => f(x₁) > f(x₂). Точку x₀ называют точкой локального максимума, если в некоторой её окрестности f(x) ≤ f(x₀); точкой локального минимума — если f(x) ≥ f(x₀). Точки максимума и минимума объединяют термином точки экстремума.

Функция f(x) называется ограниченной снизу на множестве X, если существует число m такое, что f(x) ≥ m для всех x ∈ X. Функция ограничена сверху, если f(x) ≤ M. Функция, ограниченная и сверху, и снизу, называется ограниченной: |f(x)| ≤ K. Например, y = sin x ограничена: -1 ≤ sin x ≤ 1. Значение M называют наибольшим значением функции на множестве X (M = max f(x)), если существует точка x₀ ∈ X, в которой f(x₀) = M.