Обратная функция и взаимно обратные функции
Понятие обратимости, теорема о существовании обратной функции, алгоритм нахождения и свойство симметрии графиков относительно прямой y = x.
Функция y = f(x) называется обратимой на множестве X, если каждому значению y из области значений E(f) соответствует ровно одно значение x из области определения D(f) (взаимно-однозначное соответствие, биекция). Если горизонтальная прямая y = c пересекает график функции более чем в одной точке, функция на данном множестве необратима (например, y = x² на всей прямой ℝ необратима, так как y = 4 дают x = 2 и x = -2).
Биективное соответствие
Графический критерий
Сужение области определения
Необратимую на всей прямой функцию можно сделать обратимой, сузив её область определения до промежутка монотонности (например, y = x² обратима при x ≥ 0).
Анализ уравнения f(x) = y
Проверка единственности решения
Фиксация области обратимости
Теорема: если функция y = f(x) строго возрастает (или строго убывает) на промежутке X, то она обратима на этом промежутке, и её обратная функция x = g(y) также является строго возрастающей (соответственно строго убывающей). Монотонность функции гарантирует, что разным значениям x соответствуют строго разные значения y: x₁ < x₂ => f(x₁) ≠ f(x₂), что исключает возможность повтора значений.
Достаточное условие
Характер монотонности
Исследование производной
Если производная f'(x) > 0 (или < 0) на всем интервале, функция строго монотонна и обратная функция гарантированно существует.
Доказательство строгой монотонности
Нахождение области значений E(f)
Формулировка вывода о существовании
Чтобы найти формулу обратной функции для y = f(x): 1) Из уравнения y = f(x) выражают переменную x через y: x = g(y). 2) В полученном равенстве x = g(y) меняют обозначения переменных: вместо x пишут y, а вместо y пишут x, получая стандартную форму y = g(x) = f⁻¹(x). При этом область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной: D(f⁻¹) = E(f), а область значений обратной совпадает с областью определения исходной: E(f⁻¹) = D(f).
Обмен областями
Композиция взаимно обратных
Переименование переменных
Замена x ↔ y — это чисто традиционный шаг, чтобы функция оставалась записанной в привычном виде y = f(x).
Выражение x через y
Смена букв x и y
Указание области D(g)
Если точка (a; b) лежит на графике функции y = f(x), то f(a) = b. По определению обратной функции, f⁻¹(b) = a, а это означает, что точка с переставленными координатами (b; a) лежит на графике обратной функции y = f⁻¹(x). Точки (a; b) и (b; a) на координатной плоскости зеркально симметричны относительно биссектрисы I и III координатных четвертей — прямой y = x. Следовательно, графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой y = x.
Симметричные точки
Ось зеркальной симметрии
Точки пересечения графиков
Если графики возрастающей функции и её обратной пересекаются, их точки пересечения всегда лежат на прямой y = x (то есть f(x) = x).
Построение прямой y = x
Построение опорных точек графика f(x)
Зеркальное отображение (yᵢ; xᵢ)
В школьном курсе математики фундаментальными парами взаимно обратных функций являются: 1) Степенные функции: y = x² (при x ≥ 0) и y = √x; y = x³ и y = ∛x на ℝ; y = xⁿ и y = ⁿ√x. 2) Показательная и логарифмическая функции: y = aˣ и y = logₐ x (где a > 0, a ≠ 1). 3) Тригонометрические и обратные тригонометрические (аркфункции): y = sin x на [-π/2; π/2] и y = arcsin x на [-1; 1]; y = cos x на [0; π] и y = arccos x.
Показательная и логарифм
Тригонометрическая пара
Роль сужения интервала для тригонометрии
Так как тригонометрические функции периодичны, они обратимы только на выбранных канонических отрезках: для синуса это [-π/2; π/2], для косинуса — [0; π].
Выбор главного отрезка монотонности
Введение обозначения аркфункции
Фиксация D и E аркфункции
- 1. 1. Понятие обратимой функции и взаимно-однозначное соответствие~5 мин
- 2. 2. Теорема о существовании обратной функции для монотонной функции~5 мин
- 3. 3. Алгоритм нахождения формулы обратной функции~5 мин
- 4. 4. Геометрическое свойство взаимно обратных графиков (симметрия относительно y = x)~5 мин
- 5. 5. Классические пары взаимно обратных функций~5 мин