ibrain.kz
RUKZ
Предыдущая тема|Следующая: Иррациональные уравнения и неравенства
Алгебра · 10 класс1 четвертьТема 3ГОСО РК 2026Базовый

Корень n-й степени и степень с рациональным показателем

Арифметический корень степени n, свойства радикалов, определение степени с рациональным и действительным показателями.

Время изучения~75 минтеория + практика
Разделы темы5 разд.пошаговый разбор
Тест темы3 вопр.с мгновенным ответом
СОР / СОЧ1 четвертьдескрипторы ГОСО
Раздел 1 из 5
1

1. Определение корня n-й степени из действительного числа

Корнем n-й степени (n ∈ ℕ, n ≥ 2) из действительного числа a называют такое число b, n-я степень которого равна a: bⁿ = a. Если n — четное число (n = 2k), корень четной степени из отрицательного числа в действительных числах не существует; из неотрицательного числа a ≥ 0 корень четной степени имеет два значения (±b), из которых неотрицательное называют арифметическим корнем: ⁿ√a ≥ 0. Если n — нечетное число (n = 2k + 1), корень существует из любого действительного числа a ∈ ℝ и имеет тот же знак, что и a: ²ᵏ⁺¹√(-a) = -²ᵏ⁺¹√a.

n = 2k (четное)

Четная степень

Определен только при a ≥ 0, результат ⁿ√a ≥ 0.
n = 2k + 1 (нечетное)

Нечетная степень

Определен при любом a ∈ ℝ, сохраняет знак подкоренного числа.

Тождество с модулем для четных степеней

Для любого действительного числа a: ²ᵏ√(a²ᵏ) = |a|. Запись вида √(a²) = a неверна при a < 0 (например, √((-5)²) = |-5| = 5).

Шаг 1
Анализ четности показателя n
Определяют, четен или нечетен индекс корня.
Шаг 2
Проверка знака подкоренного числа
При четном n контролируют a ≥ 0; при нечетном выносят минус.
Шаг 3
Извлечение корня
Находят число b такое, что bⁿ = a.
Определение корня n-й степени
b=an  ⟺  bn=a;−a2k+1=−a2k+1b = \sqrt[n]{a} \iff b^n = a;\quad \sqrt[2k+1]{-a} = -\sqrt[2k+1]{a}
Раздел 2 из 5
2

2. Основные свойства корней n-й степени (радикалов)

Для любых неотрицательных чисел a ≥ 0, b ≥ 0 и натуральных показателей n, k ≥ 2 справедливы свойства: 1) Корень из произведения: ⁿ√(ab) = ⁿ√a · ⁿ√b. 2) Корень из дроби: ⁿ√(a/b) = ⁿ√a / ⁿ√b (b > 0). 3) Возведение корня в степень: (ⁿ√a)ᵏ = ⁿ√(aᵏ). 4) Извлечение корня из корня: ⁿ√(ᵏ√a) = ⁿᵏ√a. 5) Основное свойство радикала (сокращение показателей): ⁿᵐ√(aᵏᵐ) = ⁿ√(aᵏ).

ⁿ√(ab) = ⁿ√a · ⁿ√b

Произведение корней

Корень произведения равен произведению корней сомножителей.
ⁿ√(ᵏ√a) = ⁿᵏ√a

Корень из корня

Показатели степеней корней перемножаются.

Приведение к общему показателю

Чтобы перемножить корни разных степеней (например, √2 и ∛3), их приводят к общему показателю 6: ⁶√(2³) · ⁶√(3²) = ⁶√(8 · 9) = ⁶√72.

Шаг 1
Факторизация подкоренных выражений
Раскладывают числа на простые множители.
Шаг 2
Приведение к общему показателю корня
Находят НОК показателей радикалов.
Шаг 3
Группировка и упрощение
Объединяют множители под один знак корня.
Свойства корней n-й степени
a⋅bn=an⋅bn;akn=an⋅k;ak⋅mn⋅m=akn\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b};\quad \sqrt[n]{\sqrt[k]{a}} = \sqrt[n \cdot k]{a};\quad \sqrt[n \cdot m]{a^{k \cdot m}} = \sqrt[n]{a^k}
Раздел 3 из 5
3

3. Вынесение и внесение множителя под знак корня

Если под знаком корня ⁿ√A содержится множитель в n-й степени, его можно вынести за знак корня. При нечетном n: ⁿ√(bⁿ · c) = b · ⁿ√c. При четном n выносится модуль: ²ᵏ√(b²ᵏ · c) = |b| · ²ᵏ√c. Наоборот, при внесении положительного множителя b > 0 под корень степени n, он возводится в степень n: b · ⁿ√c = ⁿ√(bⁿ · c). Если b < 0 и n четно, знак минус оставляют перед корнем: b · ²ᵏ√c = -²ᵏ√(|b|²ᵏ · c).

Вынесение корня

Упрощение подкоренного выражения

Степени, кратные n, извлекаются наружу.
Знак минус при внесении

Сохранение знака

Отрицательный знак при четном корне остается перед радикалом.

Осторожность со знаком переменной

Если знак переменной x неизвестен, при вынесении из квадратного корня √(x²y) ОБЯЗАТЕЛЬНО пишите |x|√y.

Шаг 1
Выделение степеней n
Записывают подкоренное число в виде bⁿ · c.
Шаг 2
Извлечение множителя
Выносят b (с модулем при четном n).
Шаг 3
Раскрытие модуля
Если знак переменной известен, снимают знак модуля.
Правило вынесения множителя
b2kc2k=∣b∣c2k;b2k+1c2k+1=bc2k+1\sqrt[2k]{b^{2k} c} = |b| \sqrt[2k]{c};\quad \sqrt[2k+1]{b^{2k+1} c} = b \sqrt[2k+1]{c}
Раздел 4 из 5
4

4. Определение степени с рациональным показателем

Степенью положительного числа a с рациональным показателем r = m/n (где m ∈ ℤ, n ∈ ℕ, n ≥ 2) называют корень n-й степени из числа aᵐ: a^{m/n} = ⁿ√(aᵐ). Степень с отрицательным дробным показателем: a^{-m/n} = 1 / a^{m/n} = 1 / ⁿ√(aᵐ). По определению, степень с рациональным показателем задается только для положительных оснований a > 0 (для нуля 0^{m/n} = 0 при m > 0; для отрицательных оснований степень с дробным показателем не рассматривается во избежание противоречий при сокращении дробей).

a^{m/n} = ⁿ√(aᵐ)

Рациональная степень

Числитель m — показатель степени, знаменатель n — показатель корня.
a > 0

Положительное основание

Обязательное условие корректности дробных степеней.

Почему отрицательные основания запрещены

Если бы (-8)^{1/3} = -2, то сократив 1/3 = 2/6, получили бы (-8)^{2/6} = ⁶√((-8)²) = ⁶√64 = +2. Равенство -2 = +2 абсурдно, поэтому основание строго a > 0.

Шаг 1
Перевод корня в степень
Заменяют ⁿ√(aᵐ) на a^{m/n}.
Шаг 2
Применение законов степеней
Складывают и вычитают показатели степеней.
Шаг 3
Обратный перевод в корень
При необходимости возвращаются к записи с радикалом.
Определение степени с дробным показателем
amn=amn=(an)m,(a>0,m∈Z,n∈N,n≥2)a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m, (a > 0, m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}, n \ge 2)
Раздел 5 из 5
5

5. Законы действий со степенями для рациональных и действительных показателей

Для любого положительного основания a > 0, b > 0 и любых рациональных (и действительных) показателей p, q ∈ ℝ сохраняются все классические законы действий со степенями: 1) aᵖ · a^q = a^{p+q}; 2) aᵖ / a^q = a^{p-q}; 3) (aᵖ)^q = a^{p · q}; 4) (ab)ᵖ = aᵖ · bᵖ; 5) (a/b)ᵖ = aᵖ / bᵖ; 6) a⁰ = 1; 7) a⁻ᵖ = 1 / aᵖ. Эти законы позволяют унифицировать алгебраические преобразования сложных иррациональных выражений.

aᵖ · a^q = a^{p+q}

Сложение показателей

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются.
(aᵖ)^q = a^{p·q}

Умножение показателей

При возведении степени в степень показатели перемножаются.

Упрощение громоздких корней через степени

Вместо мучительного поиска общего корня переведите все радикалы в дробные степени (a^{1/2}, a^{1/3}, a^{1/6}) и примените сложение дробей!

Шаг 1
Унификация оснований
Приводят все числа к степеням простых чисел (2, 3, 5...).
Шаг 2
Замена радикалов дробными степенями
Переписывают корни как rational exponents.
Шаг 3
Алгебраические действия с дробями
Суммируют и вычитают показатели степеней.
Свод законов степени
ap⋅aq=ap+q;apaq=ap−q;(ap)q=ap⋅qa^p \cdot a^q = a^{p+q};\quad \frac{a^p}{a^q} = a^{p-q};\quad (a^p)^q = a^{p \cdot q}
Ваш прогресс по теме25%
Оглавление урока
Шпаргалка формул10 класс
Степень с рациональным показателем:
am/n=nama^{m/n} = ^n\sqrt{a^m}
Тождество с корнем n-й степени:
ⁿ√(a · b) = ⁿ√a · ⁿ√b; ⁿᵏ√(aᵐᵏ) = ⁿ√(aᵐ)
Формулы синуса и косинуса сложения:
sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ;cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβsin(α \pm β) = sin α cos β \pm cos α sin β;\quad cos(α \pm β) = cos α cos β ∓ sin α sin β
Формулы двойного угла:
sin2α=2sinαcosα;cos2α=cos2α−sin2α=2cos2α−1sin 2α = 2 sin α cos α;\quad cos 2α = cos^2α - sin^2α = 2 cos^2α - 1
Следующая тема

Иррациональные уравнения и неравенства

Перейти к теме →