Первообразная и неопределенный интеграл
Определение первообразной, основное свойство первообразных F(x) + C, таблица базовых первообразных и правила интегрирования.
Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке X, если для всех x ∈ X выполняется равенство F'(x) = f(x). Операция нахождения первообразной является обратной к операции дифференцирования: если дифференцирование находит скорость изменения по известному закону движения, то интегрирование (нахождение первообразной) восстанавливает сам закон движения по известной скорости.
Определение первообразной
Интегрирование ↔ Дифференцирование
Пример простейшей пары
Для функции f(x) = 2x первообразной служит F(x) = x², так как (x²)' = 2x.
Запись функции f(x)
Подбор предполагаемой F(x)
Проверка дифференцированием
Теорема: если F(x) — одна из первообразных для функции f(x) на промежутке X, то любая другая первообразная этой функции имеет вид F(x) + C, где C — произвольная действительная постоянная (константа интегрирования). Совокупность всех первообразных функций F(x) + C для функции f(x) называют неопределенным интегралом и обозначают символом ∫ f(x) dx = F(x) + C. Графически семейство первообразных представляет собой совокупность параллельных кривых, полученных сдвигом вдоль оси ординат Oy.
Семейство первообразных
Символ Лейбница
Обязательность константы + C
При нахождении неопределенного интеграла всегда обязательно приписывать «+ C». Без константы ответ не является полным семейством.
Нахождение базовой первообразной
Добавление произвольной константы
Выделение частной первообразной
Опираясь на формулы производных, составляют фундаментальную таблицу первообразных: 1) ∫ 0 dx = C; 2) ∫ 1 dx = x + C; 3) ∫ xⁿ dx = (xⁿ⁺¹) / (n + 1) + C (при n ≠ -1); 4) ∫ (1/x) dx = ln |x| + C; 5) ∫ eˣ dx = eˣ + C; 6) ∫ aˣ dx = aˣ / ln a + C; 7) ∫ cos x dx = sin x + C; 8) ∫ sin x dx = -cos x + C; 9) ∫ (1 / cos²x) dx = tg x + C; 10) ∫ (1 / sin²x) dx = -ctg x + C.
Степенное правило
Знак первообразной синуса
Модуль под знаком натурального логарифма
В формуле первообразной для 1/x обязательно пишется знак модуля: ln |x| + C, чтобы область определения охватывала и отрицательные x.
Приведение к стандартному виду
Выбор формулы таблицы
Алгебраическое упрощение
Для нахождения первообразных сложных выражений используют правила: 1) Первообразная суммы равна сумме первообразных: если F — первообразная для f, а G — для g, то (F + G) — первообразная для (f + g). 2) Постоянный множитель k выносится за знак интеграла: ∫ k · f(x) dx = k · ∫ f(x) dx. 3) Интегрирование линейного аргумента: если F(x) — первообразная для f(x), то для f(kx + b) (где k ≠ 0) первообразной служит (1/k) · F(kx + b) + C.
Линейный аргумент kx + b
Сумма и константа
Частая потеря делителя k
Интеграл ∫ cos(3x) dx равен (1/3) sin(3x) + C, а не просто sin(3x)! Не забывайте делить на коэффициент при x.
Разбиение суммы на слагаемые
Вынесение постоянных множителей
Учет множителя 1/k
Геометрически через любую точку плоскости M(x₀; y₀) проходит ровно одна кривая из семейства первообразных F(x) + C. Чтобы найти эту единственную (частную) первообразную, подставляют координаты точки x₀ и y₀ в общее выражение: F(x₀) + C = y₀ и находят значение константы: C = y₀ - F(x₀). Этот процесс в физике соответствует учету начальных условий (начальное положение тела в момент t = 0).
Начальные условия
Частное решение
Физический пример
Если скорость v(t) = 4t, то путь s(t) = 2t² + C. Если в начале координат при t = 0 путь s = 5 м, то C = 5, и s(t) = 2t² + 5.
Запись общего семейства
Подстановка координат x₀ и y₀
Нахождение C и запись ответа
- 1. 1. Определение первообразной функции и обратная операция~5 мин
- 2. 2. Основное свойство первообразных и неопределенный интеграл F(x) + C~5 мин
- 3. 3. Таблица первообразных основных элементарных функций~5 мин
- 4. 4. Правила нахождения первообразных (линейность интегрирования)~5 мин
- 5. 5. Выделение частной первообразной по заданной точке~5 мин