ibrain.kz
RUKZ
Предыдущая тема|Следующая: Показательные уравнения и неравенства
Алгебра · 11 класс1 четвертьТема 1ГОСО РК 2026Базовый

Показательная функция, её свойства и график

Определение функции y = aˣ (a > 0, a ≠ 1), характер монотонности, горизонтальная асимптота и экспоненциальный рост.

Время изучения~75 минтеория + практика
Разделы темы5 разд.пошаговый разбор
Тест темы3 вопр.с мгновенным ответом
СОР / СОЧ1 четвертьдескрипторы ГОСО
Раздел 1 из 5
1

1. Определение показательной функции и допустимые основания

Показательной функцией называют функцию вида y = aˣ, где a — фиксированное положительное число, отличное от единицы (a > 0, a ≠ 1), а x — любое действительное число (x ∈ ℝ). Независимая переменная x выступает в роли показателя степени. Условие a > 0 необходимо для того, чтобы степень была определена при любых действительных x (включая иррациональные). Основание a = 1 исключается, так как 1ˣ = 1 при всех x, что дает постоянную линейную функцию y = 1.

y = aˣ

Показательная функция

Переменная x находится в показателе постоянного основания a.
a > 0, a ≠ 1

Ограничения базы

Основание строго положительно и не равно единице.

Экспонента Эйлера eˣ

В математике и природе особую роль играет основание e ≈ 2.71828 (число Непера). Функция y = eˣ называется экспонентой и обладает уникальным свойством: её производная в точности равна самой себе: (eˣ)' = eˣ.

Шаг 1
Проверка основания a
Убеждаются, что a > 0 и a ≠ 1.
Шаг 2
Анализ величины a
Сравнивают основание с единицей: a > 1 или 0 < a < 1.
Шаг 3
Определение типа поведения
Классифицируют как экспоненциальный рост или затухание.
Каноническая форма показательной функции
y=ax,гдеa∈(0;1)∪(1;+∞),x∈Ry = a^x, где a \in (0;\quad 1) \cup (1;\quad +\infty), x \in \mathbb{R}
Раздел 2 из 5
2

2. Область определения, область значений и опорная точка (0; 1)

Показательная функция определена на всей числовой оси: D(y) = (-∞; +∞). Область значений состоит исключительно из строго положительных чисел: E(y) = (0; +∞). График функции целиком расположен в верхней полуплоскости y > 0 и никогда не пересекает ось Ox (показательная функция не имеет нулей: aˣ ≠ 0). Независимо от основания a график всегда проходит через фиксированную опорную точку (0; 1), поскольку a⁰ = 1 для любого допустимого a.

D(y) = ℝ

Вся числовая ось

Степень определена для любого рационального и иррационального x.
E(y) = (0; +∞)

Строгая положительность

aˣ > 0 при любых x. График не касается оси Ox.

Отсутствие нулей функции

Уравнение aˣ = 0 не имеет решений ни при каком значении x. Также aˣ не может равняться отрицательному числу.

Шаг 1
Нанесение точки (0; 1)
Обязательная точка пересечения с осью ординат Oy.
Шаг 2
Нанесение контрольной точки (1; a)
Определяет масштаб и крутизну подъема.
Шаг 3
Учет горизонтальной асимптоты y = 0
Ось абсцисс является асимптотой графика.
Опорные точки показательного графика
a0=1  ⟹  (0;1);a1=a  ⟹  (1;a);a−1=1a  ⟹  (−1;1a)a^0 = 1 \implies (0;\quad 1);\quad a^1 = a \implies (1;\quad a);\quad a^{-1} = \frac{1}{a} \implies \left(-1;\quad \frac{1}{a}\right)
Раздел 3 из 5
3

3. Монотонность показательной функции при a > 1 и 0 < a < 1

Характер монотонности показательной функции фундаментально зависит от величины основания: 1) Если a > 1, функция y = aˣ строго возрастает на ℝ: большему показателю соответствует большее значение: x₁ < x₂ <=> a^{x₁} < a^{x₂}. При x → +∞ значения aˣ → +∞, а при x → -∞ значения aˣ → 0. 2) Если 0 < a < 1, функция y = aˣ строго убывает на ℝ: x₁ < x₂ <=> a^{x₁} > a^{x₂}. При x → +∞ значения aˣ → 0, а при x → -∞ значения aˣ → +∞.

a > 1 (рост)

Экспоненциальный взрыв

Функция строго возрастает на всей числовой прямой ℝ.
0 < a < 1 (спад)

Экспоненциальное затухание

Функция строго убывает на всей числовой прямой ℝ.

Взаимная симметрия графиков aˣ и (1/a)ˣ

Так как (1/a)ˣ = a⁻ˣ, графики функций y = 2ˣ и y = (1/2)ˣ зеркально симметричны друг другу относительно оси ординат Oy.

Шаг 1
Анализ основания
Проверяют, больше a единицы или лежит в интервале (0; 1).
Шаг 2
Формулировка монотонности
Фиксируют возрастание (a > 1) или убывание (0 < a < 1).
Шаг 3
Сравнение значений степеней
Сохраняют знак неравенства при a > 1, разворачивают при 0 < a < 1.
Критерии монотонности показательной функции
a>1:x1<x2  ⟺  ax1<ax2;0<a<1:x1<x2  ⟺  ax1>ax2a > 1: x_1 < x_2 \iff a^{x_1} < a^{x_2};\quad 0 < a < 1: x_1 < x_2 \iff a^{x_1} > a^{x_2}
Раздел 4 из 5
4

4. Горизонтальная асимптота y = 0

Ось абсцисс (прямая y = 0) является горизонтальной асимптотой графика показательной функции y = aˣ. При a > 1 ветвь графика уходит влево (x → -∞), бесконечно приближаясь к оси Ox сверху, никогда её не пересекая: lim_{x→-∞} aˣ = 0. При 0 < a < 1 горизонтальная асимптота достигается справа: lim_{x→+∞} aˣ = 0. Преобразование вида y = aˣ + c сдвигает горизонтальную асимптоту на уровень y = c.

y = 0 (ось Ox)

Горизонтальная асимптота

Линия, к которой график неограниченно приближается на бесконечности.
y = c

Сдвиг асимптоты

Функция y = aˣ + c имеет горизонтальную асимптоту y = c.

Только односторонняя асимптота

В отличие от гиперболы y = 1/x, у показательной функции горизонтальная асимптота действует только в одну сторону (влево при a > 1, вправо при a < 1).

Шаг 1
Нахождение свободного слагаемого
В выражении y = aˣ + c определяют константу c.
Шаг 2
Проведение пунктирной линии y = c
Наносят уровень горизонтальной асимптоты.
Шаг 3
Построение примыкающей ветви
Плавно приближают кривую к асимптоте без пересечения.
Предельные соотношения на бесконечности
lim⁡x→−∞ax=0(a>1);lim⁡x→+∞ax=0(0<a<1)\lim_{x \to -\infty} a^x = 0 (a > 1);\quad \lim_{x \to +\infty} a^x = 0 (0 < a < 1)
Раздел 5 из 5
5

5. Прикладные процессы: радиоактивный распад и цепные реакции

Показательная функция математически моделирует процессы, в которых скорость изменения величины пропорциональна самой этой величине. 1) Закон радиоактивного распада: N(t) = N₀ · 2^{-t/T}, где T — период полураспада; 2) Неограниченный рост биомассы бактерий: N(t) = N₀ · e^{kt}; 3) Остывание нагретого тела по закону Ньютона; 4) Атмосферное давление с высотой (барометрическая формула p(h) = p₀ · e^{-kh}).

N(t) = N₀ · 2^{-t/T}

Радиоактивный распад

Уменьшение числа радиоактивных ядер в 2 раза за каждый интервал T.
N(t) = N₀ · e^{kt}

Мальтузианский рост

Модель лавинообразного размножения колоний микроорганизмов.

Период полураспада

За 1 период остается 50% вещества, за 2 периода — 25%, за 3 периода — 12.5%, за 10 периодов — менее 0.1% от начальной массы.

Шаг 1
Определение начального состояния N₀
Фиксируют количество вещества в момент t = 0.
Шаг 2
Нахождение константы скорости k или T
Определяют шаг изменения по известным точкам времени.
Шаг 3
Расчет значения в заданный момент t
Подставляют время в показательную формулу.
Дифференциальное уравнение экспоненциального процесса
dNdt=kN  ⟹  N(t)=N0ekt\frac{dN}{dt} = k N \implies N(t) = N_0 e^{kt}
Ваш прогресс по теме25%
Оглавление урока
Шпаргалка формул11 класс
Свойства показательной функции aˣ:
ax⋅ay=ax+y;(ax)y=ax⋅y;a0=1aˣ \cdot aʸ = a^{x+y};\quad (aˣ)ʸ = a^{x \cdot y};\quad a^0 = 1
Основное логарифмическое тождество:
alogab=ba^{logₐ b} = b
Логарифм произведения и частного:
loga(xy)=logax+logay;loga(x/y)=logax−logaylogₐ (xy) = logₐ x + logₐ y;\quad logₐ (x/y) = logₐ x - logₐ y
Вынесение степеней из логарифма:
logaq(xp)=(p/q)⋅logaxlog_{a^q} (xᵖ) = (p / q) \cdot logₐ x
Следующая тема

Показательные уравнения и неравенства

Перейти к теме →