Приближенные вычисления и погрешности
Абсолютная и относительная погрешности, округление чисел, верные значащие цифры и стандартный вид числа.
В физике, технике и повседневной жизни большинство числовых данных являются результатом измерений или приближенных расчетов (например, длина рейки 1.45 м с точностью до миллиметра, число π ≈ 3.14). Приближенным значением числа x называют число a, незначительно отличающееся от точного x. Погрешности возникают из-за неточности измерительных приборов, неточности математических моделей и округления бесконечных дробей.
Приближенное число
Классификация
Практическая необходимость
Большинство констант природы (число π, √2, ускорение свободного падения g) — иррациональные числа, поэтому любые вычисления с ними всегда производятся приближенно.
Фиксация истинной величины
Выбор приближения
Оценка разности
Абсолютной погрешностью приближения называют модуль разности между точным значением x и его приближенным значением a: Δa = |x - a|. Поскольку истинное значение x часто точно неизвестно, на практике указывают границу абсолютной погрешности h (число, превышающее абсолютную погрешность: |x - a| ≤ h). В таком случае записывают x = a ± h, что равносильно двойному неравенству a - h ≤ x ≤ a + h.
Абсолютная погрешность
Запись с границей ошибки
Погрешность измерительного прибора
Как правило, граница абсолютной погрешности измерительного прибора принимается равной половине цены деления его шкалы (для стрелочных приборов) или единице младшего разряда (для цифровых).
Вычисление разности
Взятие модуля
Формулировка интервала
Абсолютная погрешность не позволяет судить о качестве измерения без учета величины самого объекта: ошибка в 1 см при измерении длины тетради — грубый промах, а та же ошибка в 1 см при измерении расстояния между городами — колоссальная точность. Относительной погрешностью называют отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного значения: δ = Δa / |a|. Обычно относительную погрешность выражают в процентах: δ = (Δa / |a|) · 100%. Чем меньше относительная погрешность, тем выше качество измерения.
Относительная погрешность
Процентная погрешность
Знаменатель относительной погрешности
В знаменателе стоит приближенное число a (или точное x, если оно известно). Деление на ноль невозможно, поэтому для нулевых величин относительная погрешность не определяется.
Нахождение абсолютной погрешности
Деление на значение
Перевод в проценты
Значащими цифрами числа называют все цифры в его десятичной записи, начиная с первой слева отличной от нуля цифры. Нули в начале числа (например, 0.0045 — 2 значащие цифры: 4 и 5) не являются значащими; нули в конце десятичной дроби (1.500 — 4 значащие цифры) являются значащими, так как они показывают точность измерения. Цифра называется верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда этой цифры.
От первой ненулевой
Младший разряд
Концевые нули в целых числах
В числе 3500 концевые нули могут быть как значащими (измерено с точностью до 1), так и незначащими (измерено с точностью до 100). Для устранения двусмысленности используют стандартный вид числа.
Определение первой ненулевой цифры
Подсчет значащих разрядов
Округление
Стандартным видом положительного числа называют его запись в форме a · 10ⁿ, где 1 ≤ a < 10, а n — целое число (n ∈ ℤ). Число a называют значащей частью (мантиссой), а n — порядком числа. Порядок n указывает масштаб величины: для гигантских астрономических величин порядок положителен (масса Земли ≈ 5.97 · 10²⁴ кг), для микромира — отрицателен (масса электрона ≈ 9.11 · 10⁻³¹ кг). Стандартный вид позволяет легко перемножать, делить и сравнивать величины любых масштабов.
Мантисса
Порядок числа
Операции над числами в стандартном виде
При умножении мантиссы перемножаются, а порядки складываются: (2 · 10³) · (4 · 10⁵) = 8 · 10⁸. Если мантисса превысила 10, нормализуйте ее: 15 · 10⁸ = 1.5 · 10⁹.