Производная функции и её смысл

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x₀. Разность Δx = x - x₀ называют приращением аргумента в точке x₀ (при этом x = x₀ + Δx). Разность соответствующих значений функции называют приращением функции: Δy = Δf = f(x₀ + Δx) - f(x₀). Приращение аргумента Δx может быть как положительным (шаг вправо), так и отрицательным (шаг влево). Отношение Δy / Δx показывает среднюю скорость изменения функции на отрезке [x₀; x₀ + Δx].

Производной функции y = f(x) в точке x₀ называют предел отношения приращения функции Δy к приращению аргумента Δx при стремлении приращения аргумента к нулю (Δx → 0): f'(x₀) = lim_{Δx→0} (Δy / Δx) = lim_{Δx→0} (f(x₀ + Δx) - f(x₀)) / Δx. Если этот предел существует и конечен, функцию называют дифференцируемой в точке x₀, а операцию нахождения производной — дифференцированием. Если функция дифференцируема в точке x₀, она обязательно непрерывна в этой точке (обратное неверно: y = |x| непрерывна в 0, но не дифференцируема).

Геометрический смысл производной: значение производной f'(x₀) равно угловому коэффициенту k касательной прямой, проведенной к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой x₀, то есть тангенсу угла наклона α этой касательной к положительному направлению оси Ox: k = tg α = f'(x₀). Уравнение касательной прямой в точке (x₀; f(x₀)) имеет канонический вид: y = f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀).

Физический смысл производной: если материальная точка движется прямолинейно по закону s = s(t), где s — координата (путь), а t — время, то производная пути по времени равна мгновенной скорости точки в момент времени t: v(t) = s'(t). Вторая производная пути по времени (производная скорости) равна мгновенному ускорению точки: a(t) = v'(t) = s''(t). В других физических процессах производная выражает силу тока I(t) = q'(t), теплоемкость C = dQ/dT и др.

Опираясь на определение производной через предел разностного отношения, получают формулы производных базовых функций: 1) Константа: (C)' = 0; 2) Линейная: (x)' = 1, (kx + b)' = k; 3) Степенная: (xⁿ)' = n · xⁿ⁻¹ (для любого n ∈ ℝ); 4) Квадратный корень: (√x)' = 1 / (2√x); 5) Обратная пропорциональность: (1/x)' = -1 / x²; 6) Тригонометрические функции: (sin x)' = cos x, (cos x)' = -sin x, (tg x)' = 1 / cos²x, (ctg x)' = -1 / sin²x.