Системы нелинейных уравнений с двумя переменными
Методы решения систем уравнений второй степени: метод подстановки, алгебраического сложения, замена переменных и однородные системы.
Системой нелинейных уравнений с двумя переменными называют систему, в которой хотя бы одно из уравнений содержит переменные во второй или более высокой степени (или их произведение xy). Геометрически решение системы — это координаты (x; y) точек пересечения линий, задаваемых уравнениями системы на плоскости Oxy. Например, пересечение прямой и параболы может давать 0, 1 или 2 точки; окружности и эллипса — до 4 точек.
Число решений
Геометрический смысл
Количество решений
В отличие от систем линейных уравнений, нелинейные системы второй степени могут иметь 1, 2, 3 или 4 решения в зависимости от взаимного расположения кривых.
Определение типов линий
Оценка числа решений
Аналитический выбор метода
Метод подстановки является универсальным для систем, содержащих хотя бы одно линейное уравнение вида ax + by = c. Из линейного уравнения выражают одну переменную через другую (например, y = (c - ax) / b) и подставляют это выражение во второе (нелинейное) уравнение. В результате получают уравнение с одной переменной, которое решают стандартными методами (чаще всего квадратное уравнение), после чего возвращаются к выраженной переменной.
Идеальный случай
Нахождение пар (x; y)
Сохраняйте соответствие пар
Записывайте ответы парами (x₁; y₁) и (x₂; y₂). Нельзя перемешивать x₁ с y₂!
Выражение переменной
Подстановка во второе
Решение и запись пар
Метод сложения эффективен, когда уравнения содержат подобные нелинейные члены (например, x² и y² в обоих уравнениях). Путем умножения уравнений на подобранные числовые множители добиваются противоположных коэффициентов при одной из переменных или уничтожения членов с x² и y², превращая систему в линейную связку.
Устранение квадратов
Сохранение решений
Сложение для получения полного квадрата
Иногда сложение двух уравнений системы позволяет свернуть выражение по формуле квадрата суммы: (x² + y²) + 2xy = (x + y)².
Подбор множителей
Почленное сложение
Формирование новой системы
Система уравнений называется симметрической, если при замене x на y и y на x уравнения системы не изменяются (например, x + y = a и xy = b, или x² + y² = c и xy = d). Такие системы стандартно решаются с помощью элементарных симметрических многочленов: вводят новые переменные u = x + y и v = xy. При этом x² + y² выражается как (x + y)² - 2xy = u² - 2v, а x³ + y³ = u³ - 3uv. После нахождения u и v исходные переменные x и y находятся как корни квадратного уравнения t² - ut + v = 0 по теореме Виета.
Симметрическая замена
Теорема Виета в замене
Симметрия корней
Если пара (a; b) является решением симметрической системы, то переставленная пара (b; a) также автоматически является её решением.
Введение переменных
Решение системы относительно u и v
Восстановление x и y
Система вида { a₁x² + b₁xy + c₁y² = d₁, a₂x² + b₂xy + c₂y² = d₂ } называется однородной относительно старших членов. Если свободные члены d₁ и d₂ не равны нулю, их исключают почленным комбинированием (умножают первое на d₂, второе на d₁ и вычитают). Получают однородное уравнение Ax² + Bxy + Cy² = 0. Разделив его на y² ≠ 0, получают квадратное уравнение относительно отношения t = x/y: At² + Bt + C = 0. Найдя корни t, выражают x = ty и сводят задачу к методу подстановки.
Однородное уравнение
Замена отношения
Случай y = 0
Перед делением на y² проверьте, не является ли y = 0 корнем уравнения: если при y = 0 и x = 0 уравнение выполняется, этот случай рассматривают отдельно.