Двугранный угол и перпендикулярные плоскости. Линейный угол двугранного угла
Понятие двугранного угла, ребро и грани. Линейный угол двугранного угла. Признак и свойства перпендикулярности плоскостей.
1. Двугранный угол:
Пространственная фигура, состоящая из прямой c (ребра) и двух исходящих из нее полуплоскостей α и β (граней).
2. Линейный угол двугранного угла:
Чтобы измерить двугранный угол:
• Выберем на ребре c произвольную точку O;
• В полуплоскости α проведем луч OA ⊥ c;
• В полуплоскости β проведем луч OB ⊥ c;
• Угол ∠AOB между лучами OA и OB называется линейным углом двугранного угла.
3. Независимость от выбора точки O:
Все линейные углы одного и того же двугранного угла равны между собой (при переносе точки вдоль ребра лучи смещаются параллельно).
Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла: 0° < φ ≤ 180°.
Чертеж: Двугранный угол и его линейный угол
Ребро и две полуплоскости
Угол между перпендикулярами
1. Определение перпендикулярных плоскостей:
Две пересекающиеся плоскости называются взаимно перпендикулярными (α ⊥ β), если двугранный угол между ними равен 90° (линейный угол равен 90°).
2. Теорема (признак перпендикулярности плоскостей):
Если плоскость α проходит через прямую a, перпендикулярную плоскости β (a ⊥ β), то плоскость α перпендикулярна плоскости β:
a ⊂ α, \quad a ⊥ β \implies α ⊥ β.
3. Свойства перпендикулярных плоскостей:
• Если плоскости α и β взаимно перпендикулярны, и в плоскости α проведена прямая a, перпендикулярная линии их пересечения c, то эта прямая перпендикулярна всей плоскости β: a ⊂ α, a ⊥ c => a ⊥ β;
• Если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей плоскости, то линия их пересечения перпендикулярна этой третьей плоскости.
Через перпендикуляр к β
Прямой двугранный угол
Теорема:
Площадь ортогональной проекции Sпр многоугольника на плоскость равна произведению площади самого многоугольника S на косинус угла φ между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции:
Sпр = S * cos φ.
Следствие для нахождения двугранного угла:
Косинус двугранного угла между гранью и плоскостью основания пирамиды равен отношению площади проекции к площади грани:
Sпр = S · cos φ
Для построения линейного угла в пирамиде или призме:
Определение общего ребра
Построение первого перпендикуляра к ребру
Построение второго перпендикуляра по ТТП
Вычисление угла
Грубая ошибка на ЕНТ:
Учащиеся соединяют вершины граней произвольным образом (например, проводят высоты в разные точки ребра c).
Закон линейного угла:
Перпендикуляры OA и OB ОБЯЗАНЫ сходиться в ОДНОЙ И ТОЙ ЖЕ ТОЧКЕ O на ребре!
Если перпендикуляры опущены в разные точки ребра, угол между ними НЕ является линейным углом двугранного угла и дает неверный ответ на экзамене.
Ловушка ЕНТ: Общая точка на ребре
Линейный угол — это угол между лучами, проведенными В ОДНОЙ ТОЧКЕ РЕБРА. Следите, чтобы основания перпендикуляров на чертеже строго совпадали!
- 1. Определение двугранного угла и его линейного угла~5 мин
- 2. Признак и свойства перпендикулярности плоскостей~5 мин
- 3. Теорема о площади ортогональной проекции многоугольника~5 мин
- 4. Алгоритм построения линейного угла двугранного угла~5 мин
- 5. Ловушки ЕНТ: Построение линейного угла в произвольной точке~5 мин