Геометрия: программа, формулы, теория, задачи и тесты

Аксиоматические основы евклидовой геометрии: неопределяемые понятия, взаимное расположение прямых и точек, измерение отрезков и углов.

Свойства и теоремы о смежных и вертикальных углах, перпендикулярные прямые, перпендикуляр и наклонная, расстояние от точки до прямой.

Сумма углов выпуклого n-угольника, определение параллелограмма, теоремы о противоположных сторонах, углах и диагоналях.

Особые виды параллелограмма: равенство диагоналей прямоугольника, перпендикулярность диагоналей ромба, свойства квадрата.

Основания и боковые стороны трапеции, прямоугольная и равнобедренная трапеции, теорема о средней линии.

Определение вектора как направленного отрезка. Нулевой вектор. Коллинеарность и равенство векторов. Координаты вектора и формула модуля.

Геометрические правила сложения векторов: правило треугольника и правило параллелограмма. Разность векторов. Умножение вектора на число и критерий коллинеарности.

Определение скалярного произведения векторов. Скалярное произведение в координатах. Формула косинуса угла между векторами. Условие перпендикулярности (ортогональности).

Предмет стереометрии. Основные аксиомы стереометрии (C₁, C₂, C₃). Три следствия из аксиом (способы задания плоскости). Взаимное расположение прямых и плоскостей.

Скрещивающиеся прямые и признак скрещивающихся прямых. Взаимное расположение прямых. Признак параллельности прямой и плоскости. Свойства параллельности.

Тела вращения. Круговой цилиндр: ось, радиус, высота, образующая. Осевое и поперечное сечения. Развертка цилиндра и формулы поверхностей.

Тело вращения: прямой круговой конус. Вершина, радиус, высота и образующая (L² = R² + H²). Развертка боковой поверхности (круговой сектор). Усеченный конус.

Сфера как поверхность и шар как тело. Уравнение сферы в пространстве. Сечение шара плоскостью (большой круг). Касательная плоскость. Площадь сферы (S = 4πR²).

Определение многоугольника, выпуклость, диагонали. Теорема о сумме внутренних углов выпуклого n-угольника и сумме внешних углов.

Определение параллелограмма. Теоремы о свойствах сторон, углов и диагоналей параллелограмма. Четыре признака параллелограмма.

Частные виды параллелограмма. Прямоугольник (равные диагонали), ромб (перпендикулярные диагонали-биссектрисы), квадрат. Формулы площадей и признаки.

Классификация треугольников по сторонам и углам. Замечательные линии треугольника: медиана, биссектриса, высота и их точки пересечения.

Понятие конгруэнтности (равенства) геометрических фигур. Первый признак равенства треугольников (СУС), доказательство наложением и применение.

Второй признак равенства (УСУ — по стороне и прилежащим углам) и третий признак (ССС — по трем сторонам). Жесткость треугольника.

Аксиомы площади, формулы площади параллелограмма, треугольника, ромба и трапеции через стороны, высоты и диагонали.

Формулировка и доказательства теоремы Пифагора. Обратная теорема Пифагора. Египетский треугольник (3:4:5). Пифагоровы тройки чисел и их генерация.

Декартова прямоугольная система координат. Формула расстояния между двумя точками. Координаты середины отрезка и деление отрезка в заданном отношении.

Общее уравнение прямой (Ax + By + C = 0) и уравнение с угловым коэффициентом (y = kx + b). Уравнение окружности радиуса R с центром (x₀; y₀). Взаимное расположение прямых.

Определение параллельных плоскостей. Признак параллельности плоскостей (по двум пересекающимся прямым). Свойства параллельных плоскостей и сечений.

Определение перпендикулярности прямой и плоскости. Признак перпендикулярности. Теорема о трех перпендикулярах (ТТП) — фундамент решения задач стереометрии.

Ортогональное проектирование. Определение угла между прямой и плоскостью. Свойство наименьшего угла. Связь тригонометрии угла с длинами перпендикуляра и наклонной.

Аксиомы объема (положительность, аддитивность, объем куба). Принцип Кавальери. Объем прямоугольного параллелепипеда (V = abc). Объем прямой и наклонной призмы (V = S_осн · H).

Формула объема произвольной пирамиды (V = (1/3)S_осн · H). Доказательство триангуляцией призмы. Объем усеченной пирамиды.

Вычисление объемов тел вращения. Принцип Кавальери, объем прямого кругового цилиндра V = πR²H, конуса V = (1/3)πR²H, усеченного конуса V = (1/3)πH(R₁² + R₁R₂ + R₂²) и шара V = (4/3)πR³.

Определение трапеции, основания и боковые стороны. Теорема о средней линии трапеции. Свойства равнобедренной и прямоугольной трапеций. Формулы площади.

Определение равнобедренного и равностороннего треугольников. Теоремы о свойствах и признаках равнобедренного треугольника. Совпадение медианы, биссектрисы и высоты.

Аксиома параллельных прямых Евклида. Углы при двух прямых и секущей: накрест лежащие, соответственные и односторонние. Признаки и свойства параллельности прямых.

Высота к гипотенузе. Проекции катетов на гипотенузу. Метрические соотношения: среднее геометрическое для высоты и катетов.

Определение подобия геометрических фигур. Коэффициент подобия k. Три признака подобия треугольников (по двум углам, по двум сторонам и углу, по трем сторонам).

Теорема об отношении площадей подобных треугольников (S₁/S₂ = k²). Теорема Фалеса. Обобщенная теорема Фалеса (теорема о пропорциональных отрезках).

Теорема синусов и радиус описанной окружности (2R). Теорема косинусов (обобщение теоремы Пифагора). Четыре основных типа задач на решение треугольников.

Пять главных формул площади треугольника. Формула через сторону и высоту, через две стороны и синус угла, формула Герона, формулы через радиусы r и R.

Понятие двугранного угла, ребро и грани. Линейный угол двугранного угла. Признак и свойства перпендикулярности плоскостей.

Определение призмы, основания, боковые ребра и грани. Прямая и правильная призма. Теоремы о боковой поверхности прямой и наклонной призмы. Полная поверхность.

Виды параллелепипедов (наклонный, прямой, прямоугольный). Куб. Теорема о квадрате диагонали прямоугольного параллелепипеда (d² = a² + b² + c²).

Прямоугольная система координат Oxyz в пространстве. Координаты точки и вектора. Длина вектора, расстояние между точками, деление отрезка. Скалярное произведение и условие ортогональности.

Общее уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0, вектор нормали n(A, B, C). Канонические уравнения прямой. Углы между плоскостями и расстояние от точки до плоскости.

Сфера, вписанная в призму, пирамиду, цилиндр и конус. Сфера, описанная около куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды и цилиндра. Радиусы и геометрические свойства.

Теорема о сумме внутренних углов треугольника. Внешний угол треугольника и теорема о его величине. Следствия для прямоугольного и равностороннего треугольников.

Элементы прямоугольного треугольника: катеты и гипотенуза. Свойство катета против угла 30° и медианы к гипотенузе. Признаки равенства прямоугольных треугольников.

Элементы окружности: центр, радиус, диаметр, хорда, дуга. Касательная и секущая. Свойство радиуса в точке касания. Базовые построения циркулем и линейкой.

Тригонометрические функции острого угла. Основное тригонометрическое тождество. Значения синуса, косинуса, тангенса для углов 30°, 45° и 60°.

Градусная мера дуги. Теорема о вписанном угле и следствия (угол на диаметр). Теорема о пересекающихся хордах, касательной и секущей. Критерии вписанного и описанного четырехугольников.

Число π. Формула длины окружности (C = 2πR) и длины дуги. Площадь круга (S = πR²), площадь сектора и сегмента.

Определение правильного многоугольника. Вписанная и описанная окружности. Формулы стороны a_n, радиусов R и r, апофемы и площади для n = 3, 4, 6.

Понятие геометрического преобразования плоскости. Движение (изометрия) и сохранение расстояний. Осевая и центральная симметрия. Параллельный перенос, поворот и гомотетия.

Определение пирамиды, вершина, основание, боковые ребра и грани. Правильная пирамида и апофема. Площади поверхностей. Усеченная пирамида.

Секущая плоскость и сечение многогранника. Аксиоматические правила построения. Метод следов. Метод внутреннего проектирования. Сечения параллелепипеда и тетраэдра.

Комплексные задачи ЕНТ по планиметрии и стереометрии. Синтетический метод, векторно-координатный метод и метод вспомогательного объема. Стратегия сдачи ЕНТ на 100%.