Операции над векторами: сложение, вычитание и умножение на скаляр

1. Правило треугольника:

Чтобы сложить два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

• Отложим от произвольной точки A вектор $\vec{AB} = \vec{a}$;

• От конца первого вектора (точки B) отложим вектор $\vec{BC} = \vec{b}$;

• Вектор $\vec{AC}$, соединяющий начало первого вектора с концом второго, называется суммой: $\vec{a} + \vec{b} = \vec{AC}$.

(Правило Шаля: $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC})$.

2. Правило параллелограмма:

Чтобы сложить неколлинеарные векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, отложенные от одной точки O ($\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b})$:

• Достроим фигуру до параллелограмма OACB;

• Вектор главной диагонали $\vec{OC}$, выходящий из той же точки O, равен сумме: $\vec{OC} = \vec{a} + \vec{b}$.

3. Свойства сложения:

• Коммутативность: $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$;

• Ассоциативность: ($\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$;

• Нулевой элемент: $\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$.

1. Определение разности:

Разностью векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется такой вектор $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$, который в сумме с вектором $\vec{b}$ дает вектор $\vec{a}$:

2. Геометрическое правило разности:

Если два вектора отложены от одной точки ($\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b})$, то вектор разности соединяет конец второго вектора (вычитаемого) с концом первого вектора (уменьшаемого):

(Стрелка разности ВСЕГДА направлена к тому вектору, ИЗ КОТОРОГО вычитают!).

3. В координатах:

1. Определение:

Произведением ненулевого вектора $\vec{a}$ на действительное число k называется вектор $\vec{b} = k\vec{a}$, такой что:

• Его длина равна: |k$\vec{a}| = |k| * |\vec{a}|$;

• Направление совпадает с $\vec{a}$ при k > 0 (k$\vec{a}$ ↑↑ $\vec{a})$;

• Направление противоположно $\vec{a}$ при k < 0 (k$\vec{a}$ ↑↓ $\vec{a})$;

• Если k = 0 или $\vec{a} = \vec{0}$, то 0 * $\vec{a} = \vec{0}$.

2. В координатах:

При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число:

3. Критерий коллинеарности векторов:

Два ненулевых вектора $\vec{a}(x_1$; y₁) и $\vec{b}(x_2$; y₂) коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны:

При выполнении выражений вида c⃗ = α * a⃗ + β * b⃗:

1. Ловушка направления разности:

В тесте часто спрашивают: «Какой вектор равен разности AC - AB?»

Правильный ответ: вектор BC (так как BC + AB = AC). Помните: вектор направлен ОТ конца вычитаемого К концу уменьшаемого!

2. Ловушка коллинеарности при нулевой координате:

Если вектор a⃗ = (0; 5), а вектор b⃗ = (0; -15), то делить на ноль нельзя.

В этом случае применяют формулу перекрестного умножения:

x₁ * y₂ - x₂ * y₁ = 0 * (-15) - 0 * 5 = 0 - 0 = 0 => векторы строго коллинеарны (k = -3, противоположно направлены).