Скалярное произведение векторов, угол между векторами и условие ортогональности

1. Угол между векторами (φ):

Углом между двумя ненулевыми векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется наименьший угол между ними при откладывании от одной точки (0° ≤ φ ≤ 180°).

2. Определение скалярного произведения:

Скалярным произведением двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется число, равное произведению их модулей на косинус угла между ними:

3. Зависимость знака от величины угла φ:

• Если φ — острый угол (0° ≤ φ < 90°), то cos φ > 0 => $\vec{a}$ $\cdot$ $\vec{b}$ > 0;

• Если φ = 90° (векторы ортогональны), то cos 90° = 0 => $\vec{a}$ $\cdot$ $\vec{b} = 0$;

• Если φ — тупой угол (90° < φ ≤ 180°), то cos φ < 0 => $\vec{a}$ $\cdot$ $\vec{b}$ < 0;

• Если векторы сонаправлены (φ = 0°), то $\vec{a}$ $\cdot$ $\vec{b} = |\vec{a}| * |\vec{b}|$;

• Скалярный квадрат: $\vec{a}^2 = \vec{a}$ $\cdot$ $\vec{a} = |\vec{a}|^2$.

1. Формула в декартовых координатах:

Для векторов $\vec{a}(x_1$; y₁) и $\vec{b}(x_2$; y₂) скалярное произведение вычисляется как:

2. Условие перпендикулярности (ортогональности):

Два ненулевых вектора перпендикулярны ($\vec{a}$ ⊥ $\vec{b})$ тогда и только тогда, когда сумма произведений их координат равна нулю:

3. Формула косинуса угла между векторами:

Приравнивая геометрическое и координатное выражения:

Для любых векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ и любого числа k верны законы:

1. Переместительный: $\vec{a}$ $\cdot$ $\vec{b} = \vec{b}$ $\cdot$ $\vec{a}$;

2. Сочетательный относительно скаляра: (k$\vec{a})$ $\cdot$ $\vec{b} = k(\vec{a}$ $\cdot$ $\vec{b})$;

3. Распределительный: ($\vec{a} + \vec{b})$ $\cdot$ $\vec{c} = \vec{a}$ $\cdot$ $\vec{c} + \vec{b}$ $\cdot$ $\vec{c}$;

4. Квадрат суммы и разности векторов:

|$\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 - 2\vec{a}\vec{b} + |\vec{b}|^2$ (векторная запись теоремы косинусов!).

Шаги вычисления угла φ:

Частая ошибка на ЕНТ:

При расчете получилось cos φ = -1/2.

Многие ученики пишут угол 60° (забывая про знак минус!).

Правильное определение угла:

Так как cos φ = -1/2 < 0, угол является тупым:

φ = 180° - 60° = 120°!

Аналогично: cos φ = -√2 / 2 => φ = 135°; cos φ = -√3 / 2 => φ = 150°.

Никогда не теряйте знак «минус» в тригонометрических уравнениях!