ibrain.kz
RUKZ
Предыдущая тема|Следующая: Аксиомы стереометрии и их следствия. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве
Геометрия · 9 класс4 четвертьТема 10ГОСО РК 2026Базовый

Движение и преобразования плоскости: параллельный перенос, симметрия, поворот и гомотетия

Понятие геометрического преобразования плоскости. Движение (изометрия) и сохранение расстояний. Осевая и центральная симметрия. Параллельный перенос, поворот и гомотетия.

Время изучения~75 минтеория + практика
Разделы темы5 разд.пошаговый разбор
Тест темы5 вопр.с мгновенным ответом
СОР / СОЧ4 четвертьдескрипторы ГОСО
Раздел 1 из 5
1

Понятие движения плоскости и его фундаментальные свойства

1. Определение движения:

Отображение плоскости на себя называется движением (изометрией), если для любых двух точек A и B и их образов A' и B' выполняется равенство расстояний:

|A'B'| = |AB|.

2. Свойства любого движения:

• Отрезок переходит в равный ему отрезок: A'B' = AB;

• Прямая переходит в прямую, луч — в луч;

• Сохраняются углы между лучами: ∠A'B'C' = ∠ABC;

• Треугольник переходит в равный ему треугольник: △A'B'C' = △ABC;

• Сохраняются параллельность и перпендикулярность прямых;

• Композиция (последовательное выполнение) двух движений также является движением.

Чертеж: Геометрические преобразования плоскости

Векторная схема
xyOA(x₁, y₁)B(x₂, y₂)M (середина)Δx = x₂ - x₁Δy = y₂ - y₁Расстояние: d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²); Координаты середины: ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
Движение сохраняет форму и размеры (|A'B'| = |AB|); гомотетия масштабирует расстояния в k раз.
ДВИЖЕНИЕ (ИЗОМЕТРИЯ)

Сохранение расстояний

Преобразование, не деформирующее фигуры; сохраняет углы, площади и периметры.
ОБРАЗ И ПРООБРАЗ

A → A'

Исходная точка A называется прообразом, полученная точка A' — образом.
Свойство движения (изометрии)
∣A′B′∣=∣AB∣  ⟹  △A′B′C′=△ABC|A'B'| = |AB| \implies \triangle A'B'C' = \triangle ABC
Движение переводит любую геометрическую фигуру в равную ей фигуру.
Раздел 2 из 5
2

Осевая и центральная симметрия

1. Осевая симметрия (симметрия относительно прямой l):

Точки A и A' называются симметричными относительно прямой l (оси симметрии), если прямая l перпендикулярна отрезку AA' и делит его пополам.

Осевая симметрия меняет ориентацию плоскости на противоположную (зеркальное отражение).

Координатные формулы:

• Относительно оси Ox: (x; y) → (x; -y);

• Относительно оси Oy: (x; y) → (-x; y).

2. Центральная симметрия (симметрия относительно точки O):

Точки A и A' называются симметричными относительно центра O, если O — середина отрезка AA'.

Центральная симметрия эквивалентна повороту плоскости вокруг центра O на угол 180°.

Координатная формула:

• Относительно начала координат O(0; 0): (x; y) → (-x; -y).

ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ

Зеркальное отражение

Ось симметрии является серединным перпендикуляром к отрезку между точкой и ее образом.
ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ

Поворот на 180°

Центр симметрии O делит отрезок AA' строго пополам: AO = OA'.
Формулы симметрии в координатах
SOx:(x;y)→(x;−y);SOy:(x;y)→(−x;y);SO:(x;y)→(−x;−y)S_{Ox}: (x;\quad y) \to (x;\quad -y);\quad \quad S_{Oy}: (x;\quad y) \to (-x;\quad y);\quad \quad S_O: (x;\quad y) \to (-x;\quad -y)
Центр O симметрии является единственной неподвижной точкой центральной симметрии.
Раздел 3 из 5
3

Параллельный перенос, поворот и гомотетия

1. Параллельный перенос на вектор p⃗(a\vec{p}(a; b):

Преобразование, при котором каждая точка M(x; y) смещается в точку M'(x'; y') по формулам:

x′=x+a,y′=y+bx' = x + a, \quad y' = y + b.

При параллельном переносе прямая переходит в параллельную ей прямую (или в саму себя, если параллельна вектору переноса).

2. Поворот вокруг точки O на угол α:

Преобразование, при котором каждая точка M переходит в такую точку M', что OM = OM' и угол ∠MOM' = α (против часовой стрелки при α > 0).

3. Гомотетия (преобразование подобия):

Преобразование с центром O и коэффициентом k ≠ 0, переводящее точку M в точку M' так, что:

OM′⃗=k∗OM⃗\vec{OM'} = k * \vec{OM}.

При гомотетии расстояния изменяются ровно в |k| раз: |A'B'| = |k| * |AB|. Фигуры переходят в ПОДОБНЫЕ фигуры с коэффициентом |k|.

Параллельный перенос и гомотетия
Перенос:x′=x+a,  y′=y+b;Гомотетия:OM′⃗=kOM⃗,  S′=k2S\text{Перенос}: x' = x + a, \;\quad y' = y + b;\quad \quad \text{Гомотетия}: \vec{OM'} = k \vec{OM}, \;\quad S' = k^2 S
Гомотетия НЕ является движением (при k ≠ 1), так как меняет расстояния в k раз!
Раздел 4 из 5
4

Алгоритм нахождения координат образов точек

Правила для экзаменационных задач:

Шаг 1
При симметрии относительно оси Ox
Оставить координату x без изменения, поменять знак координаты y: (x; y) → (x; -y).
Шаг 2
При симметрии относительно оси Oy
Оставить координату y без изменения, поменять знак координаты x: (x; y) → (-x; y).
Шаг 3
При параллельном переносе на вектор (a; b)
Прибавить к координатам точки координаты вектора: x' = x + a, y' = y + b.
Раздел 5 из 5
5

Ловушки ЕНТ: Симметрия относительно начала координат и оси

Частая путаница в тестах ЕНТ:

«Точка A(3; -5) симметрична точке B относительно начала координат. Найдите координаты точки B».

Ошибочные ответы: меняют знак только у одного числа.

Правило:

• Симметрия относительно НАЧАЛА КООРДИНАТ меняет знаки ОБЕИХ координат на противоположные: B(-3; 5)!

• Симметрия относительно оси Ox меняет знак ТОЛЬКО у координаты y: (3; 5);

• Симметрия относительно оси Oy меняет знак ТОЛЬКО у координаты x: (-3; -5).

Сводка знаков ЕНТ

Относительно Ox: меняется y. Относительно Oy: меняется x. Относительно центра O(0; 0): меняются ОБА знака (x и y)!

Ваш прогресс по теме25%
Оглавление урока
Шпаргалка формул9 класс
Длина вектора на плоскости:
∣a⃗∣=x2+y2|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}[ед.]
Скалярное произведение векторов:
a⃗⋅b⃗=x1x2+y1y2=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡φ\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\varphi[ед.²]
Условие ортогональности векторов:
a⃗⊥b⃗  ⟺  x1x2+y1y2=0\vec{a} \perp \vec{b} \iff x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0
Расстояние между двумя точками:
d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}[ед.]
Следующая тема

Аксиомы стереометрии и их следствия. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве

Перейти к теме →