Аксиомы стереометрии и их следствия. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве

1. Введение в стереометрию:

В отличие от планиметрии, где все фигуры лежат в одной плоскости, стереометрия изучает пространственные тела (куб, призма, пирамида, цилиндр, шар).

Плоскость в пространстве представляется как бесконечная идеально ровная поверхность без толщины и обозначается греческими буквами: α, β, γ...

2. Основные аксиомы стереометрии:

• Аксиома C₁ (принадлежность): Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей;

• Аксиома C₂ (пересечение плоскостей): Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой линии, проходящей через эту точку: α ∩ β = a;

• Аксиома C₃ (однозначность плоскости): Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Из аксиом строго выводятся три способа однозначного задания плоскости в пространстве:

1. Следствие 1 (прямая и точка вне ее):

Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна (плоскость (a, M)).

2. Следствие 2 (две пересекающиеся прямые):

Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна (плоскость (a ∩ b)).

3. Следствие 3 (две параллельные прямые):

Через две параллельные прямые проходит плоскость, и притом только одна (плоскость (a ∥ b)).

Вывод: плоскость в трехмерном пространстве однозначно определяется:

• тремя точками не на одной прямой;

• прямой и точкой вне ее;

• двумя пересекающимися прямыми;

• двумя параллельными прямыми.

В трехмерном пространстве возможны ровно три случая взаимного расположения прямой a и плоскости α:

1. Прямая лежит в плоскости (a ⊂ α):

Прямая имеет с плоскостью бесконечно много общих точек (достаточно, чтобы хотя бы две точки прямой принадлежали плоскости);

2. Прямая пересекает плоскость (a ∩ α = {M}):

Прямая имеет с плоскостью ровно одну общую точку M (точку пересечения или след прямой);

3. Прямая параллельна плоскости (a ∥ α):

Прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки: a ∩ α = ∅.

Для доказательства, что 4 точки лежат в одной плоскости (компланарны):

Любимый вопрос ЕНТ:

«Сколько различных плоскостей можно провести через 4 точки в пространстве, никакие три из которых не лежат на одной прямой?»

Ловушка:

Учащиеся часто отвечают «одну».

Правильный анализ (два случая):

1. Если все 4 точки лежат в одной плоскости — ровно 1 плоскость;

2. Если точки образуют вершины тетраэдра (не лежат в одной плоскости) — через каждые 3 точки проходит своя плоскость, всего: C₄³ = 4 плоскости (грани тетраэдра)!

Поэтому на вопрос «Сколько плоскостей могут определять 4 точки» правильный ответ: «1 или 4 плоскости».