Параллельные прямые. Признак и свойства параллельности прямой и плоскости в пространстве

В трехмерном пространстве две прямые a и b могут располагаться тремя способами:

1. Лежат в одной плоскости:

• Пересекаются: a ∩ b = {O} (имеют ровно одну общую точку);

• Параллельны: a ∥ b (лежат в одной плоскости и не пересекаются);

2. Не лежат в одной плоскости (скрещивающиеся прямые):

Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости (не пересекаются и не параллельны друг другу): a ∦ b, a ∩ b = ∅.

Теорема (признак скрещивающихся прямых):

Если одна из двух прямых лежит в плоскости (a ⊂ α), а вторая прямая b пересекает эту плоскость в точке M, не принадлежащей первой прямой (M ∈ α, M ∉ a), то прямые a и b являются скрещивающимися.

Определение:

Прямая a и плоскость α называются параллельными, если они не имеют ни одной общей точки: a ∥ α (a ∩ α = ∅).

Теорема (признак параллельности прямой и плоскости):

Если прямая a, не лежащая в плоскости α, параллельна некоторой прямой b, лежащей в этой плоскости, то прямая a параллельна плоскости α:

a ⊄ α, \quad b ⊂ α, \quad a ∥ b \implies a ∥ α.

Геометрический смысл:

Чтобы доказать параллельность прямой линии целой плоскости, достаточно найти внутри этой плоскости всего ОДНУ прямую, параллельную данной!

1. Теорема 1 (о линии пересечения):

Если прямая a параллельна плоскости α, а плоскость β проходит через прямую a и пересекает плоскость α по прямой b, то прямая b параллельна прямой a: a ∥ b.

2. Теорема 2 (о параллельных прямых):

Если через каждую из двух параллельных прямых проведена плоскость, и эти плоскости пересекаются по прямой c, то линия их пересечения c параллельна каждой из данных прямых: a ∥ b, a ⊂ α, b ⊂ β, α ∩ β = c => c ∥ a, c ∥ b.

Стандартные шаги доказательства a ∥ α:

Типовая задача ЕНТ на кубе:

«В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите угол между скрещивающимися прямыми A₁B и B₁C».

Ловушка:

Учащиеся пытаются мысленно «скрестить» отрезки и пишут 90°.

Точное решение параллельным переносом:

1. Прямая A₁B лежит в передней грани. Параллельная ей прямая в задней грани — это D₁C (так как A₁B ∥ D₁C);

2. Заменяем скрещивающуюся прямую A₁B на параллельную ей D₁C, пересекающую прямую B₁C в точке C;

3. Угол между A₁B и B₁C равен углу между D₁C и B₁C, то есть углу ∠B₁CD₁;

4. Соединяем точки B₁ и D₁: треугольник B₁CD₁ состоит из трех диагоналей граней куба: B₁C = D₁C = B₁D₁ = a√2 (равносторонний треугольник!);

5. Все углы равностороннего треугольника равны 60°!

Ответ: 60° (а не 90°!).