Параллельные плоскости: признак параллельности двух плоскостей и их геометрические свойства

1. Определение:

Две плоскости α и β называются параллельными (α ∥ β), если они не имеют ни одной общей точки: α ∩ β = ∅.

2. Теорема (признак параллельности двух плоскостей):

Если две пересекающиеся прямые a и b одной плоскости α соответственно параллельны двум пересекающимся прямым a₁ и b₁ другой плоскости β, то эти плоскости параллельны:

a ⊂ α, \; b ⊂ α, \; a ∩ b = {P}; \quad a₁ ⊂ β, \; b₁ ⊂ β; \quad a ∥ a₁, \; b ∥ b₁ \implies α ∥ β.

Важность условия «пересекающиеся прямые»:

Параллельности всего одной пары прямых недостаточно (плоскости могут пересекаться по прямой, параллельной обеим линиям, как скаты крыши дома!).

1. Свойство 1 (о линиях пересечения третьей плоскостью):

Если две параллельные плоскости α и β пересекаются третьей плоскостью γ, то линии их пересечения параллельны между собой:

α ∥ β, \quad α ∩ γ = a, \quad β ∩ γ = b \implies a ∥ b.

(Базовое правило построения сечений параллелепипеда и призмы!).

2. Свойство 2 (об отрезках параллельных прямых):

Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны между собой:

α ∥ β, \quad a ∥ b, \quad A, B ∈ α, \quad A₁, B₁ ∈ β \implies AA₁ = BB₁.

Четырехугольник AA₁B₁B всегда является параллелограммом (или прямоугольником).

Теорема о транзитивности:

Две плоскости, параллельные третьей плоскости, параллельны между собой:

α ∥ γ \quad \text{и} \quad β ∥ γ \implies α ∥ β.

Теорема о единственности параллельной плоскости:

Через точку, не лежащую в данной плоскости α, проходит плоскость, параллельная плоскости α, и притом только одна.

Для построения сечения, параллельного грани:

Логическая ловушка в тестах ЕНТ:

«Плоскости α и β параллельны. Прямая a лежит в плоскости α, а прямая b лежит в плоскости β. Обязательно ли прямые a и b параллельны?»

Почти половина учеников отвечает «Да».

Правильный ответ: НЕТ, НЕ ОБЯЗАТЕЛЬНО!

Прямые a и b могут быть как параллельными (a ∥ b), так и СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ (они никогда не пересекутся, но могут быть направлены под любым углом друг к другу, например, одна прямая идет вдоль оси Ox, а другая на верхнем этаже — вдоль оси Oy)!