Перпендикулярность прямой и плоскости: признак, свойства и теорема о трех перпендикулярах

1. Определение:

Прямая a называется перпендикулярной к плоскости α (a ⊥ α), если она перпендикулярна к любой прямой l, лежащей в этой плоскости: a ⊥ l для всякой l ⊂ α.

2. Теорема (признак перпендикулярности прямой и плоскости):

Если прямая a перпендикулярна двум пересекающимся прямым b и c, лежащим в плоскости α, то она перпендикулярна самой плоскости α:

b ⊂ α, \; c ⊂ α, \; b ∩ c = {O}; \quad a ⊥ b, \; a ⊥ c \implies a ⊥ α.

Важность условия пересечения:

Если прямые b и c параллельны, признак не работает. Две пересекающиеся прямые фиксируют плоскость, гарантируя перпендикулярность ко всем прямым плоскости α.

Пусть точка A не лежит в плоскости α:

1. Перпендикуляр (AH):

Отрезок AH, соединяющий точку A с точкой H плоскости α, такой что AH ⊥ α. Точка H — основание перпендикуляра. Длина AH — расстояние от точки A до плоскости α;

2. Наклонная (AB):

Любой отрезок AB, соединяющий точку A с точкой B плоскости α (B ≠ H). Точка B — основание наклонной;

3. Проекция наклонной (HB):

Отрезок HB, соединяющий основание перпендикуляра H и основание наклонной B.

Свойства:

• Перпендикуляр короче любой наклонной: AH < AB;

• Равные наклонные имеют равные проекции: AB₁ = AB₂ <=> HB₁ = HB₂;

• Большей наклонной соответствует большая проекция: AB₁ > AB₂ <=> HB₁ > HB₂;

• В прямоугольном треугольнике AHB: AB² = AH² + HB² (теорема Пифагора).

Фундаментальная теорема стереометрии:

1. Прямая теорема о трех перпендикулярах (ТТП):

Прямая c, проведенная в плоскости α через основание наклонной B перпендикулярно к ее проекции HB, перпендикулярна и к самой наклонной AB:

c ⊂ α, \quad c ⊥ HB \implies c ⊥ AB.

2. Обратная теорема о трех перпендикулярах:

Прямая c, проведенная в плоскости α через основание наклонной B перпендикулярно к самой наклонной AB, перпендикулярна и к ее проекции HB:

c ⊂ α, \quad c ⊥ AB \implies c ⊥ HB.

Почему теорема называется теоремой о ТРЕХ перпендикулярах:

В конфигурации участвуют ровно три взаимных перпендикуляра:

1) AH ⊥ α (перпендикуляр к плоскости);

2) c ⊥ HB (перпендикуляр на плоскости к проекции);

3) c ⊥ AB (перпендикуляр к наклонной в пространстве).

Стандартная схема нахождения расстояния от точки до прямой:

Классическая задача ЕНТ:

«Из центра O правильного треугольника со стороной a = 6 см восстановлен перпендикуляр OM = 4 см. Найдите расстояние от точки M до сторон треугольника».

Ловушка:

Учащиеся путают радиус описанной окружности R и радиус вписанной окружности r.

Точное решение:

1. Расстояние от центра O до стороны правильного треугольника — это радиус ВПИСАННОЙ окружности r (апофема!):

r = a√3 / 6 = 6√3 / 6 = √3 см (это длина проекции OK ⊥ стороне);

2. По ТТП отрезок MK перпендикулярен стороне треугольника и равен искомому расстоянию;

3. В прямоугольном треугольнике △MOK: MK = √(OM² + OK²) = √(4² + (√3)²) = √(16 + 3) = √19 см!

Ответ: √19 см.