ibrain.kz
RUKZ
Предыдущая тема|Следующая: Треугольник и его основные элементы: медианы, биссектрисы и высоты
Геометрия · 7 класс1 четвертьТема 2ГОСО РК 2026Базовый

Смежные и вертикальные углы. Перпендикулярные прямые

Свойства и теоремы о смежных и вертикальных углах, перпендикулярные прямые, перпендикуляр и наклонная, расстояние от точки до прямой.

Время изучения~75 минтеория + практика
Разделы темы5 разд.пошаговый разбор
Тест темы4 вопр.с мгновенным ответом
СОР / СОЧ1 четвертьдескрипторы ГОСО
Раздел 1 из 5
1

Смежные углы: определение, теорема и свойства

1. Определение:

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются дополнительными полупрямыми (лучами), образующими прямую линию, называются смежными углами.

2. Теорема о сумме смежных углов:

Сумма величин смежных углов всегда равна 180°:

∠1 + ∠2 = 180°.

3. Следствия из теоремы:

• Если два угла равны, то и смежные с ними углы равны;

• Угол, смежный с прямым углом, всегда прямой (180° - 90° = 90°);

• Угол, смежный с острым углом, является тупым, и наоборот.

Чертеж: Смежные углы с общей вершиной и стороной

Векторная схема
αβOABCСмежные углы: ∠AOC + ∠COB = α + β = 180°
Лучи OA и OB образуют прямую; луч OC — общая сторона; сумма смежных углов α + β = 180°.
СМЕЖНЫЕ УГЛЫ

Сумма 180°

Пара углов с общей вершиной и общей стороной, лежащих на одной прямой линии.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЛУЧИ

Развернутый угол

Два противоположно направленных луча, исходящих из одной точки и образующих единую прямую.
Теорема смежных угловОшибочное применение
∠AOC+∠COB=180∘  ⟺  α+β=180∘\angle AOC + \angle COB = 180^\circ \iff \alpha + \beta = 180^\circ
Позволяет находить один из смежных углов по формуле: β = 180° - α.
Ошибочное применение
Углы в сумме дают 180° только если они имеют общую сторону и дополняют друг друга до прямой линии.
Раздел 2 из 5
2

Вертикальные углы и их свойства

1. Определение:

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого за их общую вершину.

При пересечении двух прямых образуются две пары вертикальных углов и четыре пары смежных углов.

2. Теорема о вертикальных углах:

Вертикальные углы равны:

∠1 = ∠3, \quad ∠2 = ∠4.

3. Доказательство:

Углы ∠1 и ∠2 — смежные, поэтому ∠1 + ∠2 = 180° => ∠1 = 180° - ∠2.

Углы ∠3 и ∠2 — также смежные, поэтому ∠3 + ∠2 = 180° => ∠3 = 180° - ∠2.

Так как правые части равны, то ∠1 = ∠3. Теорема доказана.

Чертеж: Вертикальные углы при пересечении двух прямых

Векторная схема
OααββВертикальные углы равны: α = α, β = β; α + β = 180°
При пересечении прямых образуются равные противоположные углы: α = α, β = β; при этом α + β = 180°.
Теорема о вертикальных углах
a∩b={O}  ⟹  ∠1=∠3,∠2=∠4,∠1+∠2=180∘a \cap b = \{O\} \implies \angle 1 = \angle 3, \quad \angle 2 = \angle 4, \quad \angle 1 + \angle 2 = 180^\circ
Биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой и образуют развернутый угол.
Раздел 3 из 5
3

Перпендикулярные прямые, перпендикуляр и наклонная

1. Определение перпендикулярности:

Две прямые называются взаимно перпендикулярными, если при пересечении они образуют прямой угол (90°). Обозначение: a ⊥ b. Если один из четырех образованных углов равен 90°, то и все остальные три угла также равны 90°.

2. Теорема о перпендикуляре к прямой:

Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и притом только одну.

3. Перпендикуляр и наклонная:

Пусть точка A не лежит на прямой a. Отрезок AH, где H ∈ a и AH ⊥ a, называется перпендикуляром, опущенным из точки A на прямую a. Точка H — основание перпендикуляра.

Любой другой отрезок AM (где M ∈ a, M ≠ H) называется наклонной, а отрезок HM — проекцией наклонной на прямую a.

4. Свойство наклонной:

Перпендикуляр короче любой наклонной, проведенной из той же точки к той же прямой: AH < AM. Длина перпендикуляра AH называется расстоянием от точки A до прямой a.

Чертеж: Перпендикуляр, наклонная и ее проекция

Векторная схема
AH (основание перпендикуляра)M (наклонная AM)AH ⊥ lAM > AHHM — проекцияl
AH ⊥ l — перпендикуляр; AM — наклонная; HM — проекция наклонной; длина AH — кратчайшее расстояние.
ПЕРПЕНДИКУЛЯР

Кратчайшее расстояние

Отрезок под углом 90° к прямой; задает точное расстояние от точки до прямой.
НАКЛОННАЯ

AM > AH

Любой отрезок, соединяющий внешнюю точку с точкой прямой, отличной от основания перпендикуляра.
Раздел 4 из 5
4

Алгоритм вычисления углов при пересекающихся прямых

Для быстрого нахождения всех четырех углов, образованных пересечением двух прямых:

Шаг 1
Определение типа заданных углов
Выяснить по чертежу или условию, являются ли заданные углы смежными (лежат вдоль одной прямой) или вертикальными (лежат напротив друг друга).
Шаг 2
Составление уравнения
Если углы вертикальные — приравнять их (α = β). Если углы смежные — записать уравнение суммы: α + β = 180°.
Шаг 3
Вычисление оставшихся углов
Зная градусную меру одного острого угла α, тупой угол находится как 180° - α, а вертикальные углы дублируются.
Раздел 5 из 5
5

Типовые ловушки ЕНТ по смежным и вертикальным углам

Классическая формулировка ЕНТ:

«Сумма двух углов, образованных при пересечении двух прямых, равна 84°. Найдите величину большего из образовавшихся углов».

Ловушка:

Смежные углы в сумме всегда дают строго 180°. Если сумма двух углов не равна 180° (в нашей задаче 84°), то эти углы могут быть ТОЛЬКО ВЕРТИКАЛЬНЫМИ!

Поскольку они вертикальные, они равны между собой: 84° / 2 = 42° каждый.

Больший же угол является смежным с ними: 180° - 42° = 138°.

Ответ: 138°.

Правило ЕНТ: Сумма двух углов при пересечении прямых

Если сумма двух углов не равна 180°, эти углы вертикальные. Если сумма трех углов равна S, то четвертый угол равен 360° - S, а смежный с ним равен 180° - (360° - S) = S - 180°.

Ваш прогресс по теме25%
Оглавление урока
Шпаргалка формул7 класс
Длина отрезка:
AB=AC+CBAB = AC + CB[см]
Середина отрезка:
AM=MB=12ABAM = MB = \frac{1}{2}AB[см]
Сумма смежных углов:
α+β=180∘\alpha + \beta = 180^\circ[градусы]
Вертикальные углы:
∠1=∠3,∠2=∠4\angle 1 = \angle 3, \quad \angle 2 = \angle 4[градусы]
Следующая тема

Треугольник и его основные элементы: медианы, биссектрисы и высоты

Перейти к теме →