ibrain.kz
RUKZ
Предыдущая тема|
Геометрия · 8 класс2 четвертьТема 4ГОСО РК 2026Базовый

Трапеция: средняя линия, равнобедренная и прямоугольная трапеции

Определение трапеции, основания и боковые стороны. Теорема о средней линии трапеции. Свойства равнобедренной и прямоугольной трапеций. Формулы площади.

Время изучения~75 минтеория + практика
Разделы темы5 разд.пошаговый разбор
Тест темы4 вопр.с мгновенным ответом
СОР / СОЧ2 четвертьдескрипторы ГОСО
Раздел 1 из 5
1

Определение элементов трапеции и ее классификация

1. Определение:

Трапеция ABCD — четырехугольник, у которого две стороны параллельны: AD ∥ BC (основания трапеции: a = AD, b = BC), а две другие стороны не параллельны: AB ∦ CD (боковые стороны).

2. Высота трапеции (h):

Перпендикуляр, проведенный из любой точки одного основания к прямой, содержащей другое основание.

3. Классификация трапеций:

• Разносторонняя трапеция: боковые стороны имеют различную длину;

• Равнобедренная (равнобокая) трапеция: боковые стороны равны: AB = CD;

• Прямоугольная трапеция: одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям (AB ⊥ AD, h = AB).

Чертеж: Трапеция, основания a, b, высота h и средняя линия m

Векторная схема
b (верхнее основание)a (нижнее основание)hm = (a + b) / 2 (средняя линия)Площадь трапеции: S = m · h = ((a + b) / 2) · h
Основания a ∥ b; средняя линия m = (a + b) / 2 соединяет середины боковых сторон; площадь S = m · h.
ОСНОВАНИЯ

Параллельные стороны

Две параллельные стороны трапеции (a и b), между которыми измеряется высота h.
СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ

m = (a + b) / 2

Отрезок между серединами боковых сторон; параллелен основаниям.
Базовые формулы трапеции
m=a+b2;S=a+b2⋅h=m⋅h;∠A+∠B=180∘m = \frac{a + b}{2};\quad \quad S = \frac{a + b}{2} \cdot h = m \cdot h;\quad \quad \angle A + \angle B = 180^\circ
Сумма углов, прилежащих к каждой боковой стороне трапеции, равна строго 180° (внутренние односторонние углы).
Раздел 2 из 5
2

Теорема о средней линии трапеции

Теорема:

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме:

m∥a,m∥b,m=a+b2m \parallel a, \quad m \parallel b, \quad m = \frac{a + b}{2}.

Доказательство продлением:

1. Пусть ABCD — трапеция с основаниями AD = a и BC = b. Точки M и N — середины боковых сторон AB и CD.

2. Проведем прямую BN через вершину верхнего основания и середину боковой стороны N до пересечения с продолжением нижнего основания AD в точке K.

3. Треугольники BCN и KDN равны по стороне и двум прилежащим углам (CN = ND, ∠BNC = ∠KND как вертикальные, ∠BCN = ∠KDN как накрест лежащие).

4. Из равенства треугольников следует: BC = DK = b и BN = NK (точка N — середина отрезка BK).

5. Отрезок MN является средней линией треугольника ABK, соединяющей середины сторон AB и BK.

6. По теореме о средней линии треугольника: MN ∥ AK и MN = 0.5 * AK.

7. Так как AK = AD + DK = a + b, получаем: MN = (a + b) / 2. Теорема доказана.

ТЕОРЕМА О СРЕДНЕЙ ЛИНИИ

m = (a + b) / 2

Доказывается сведением трапеции к треугольнику через продление луча.
ОТРЕЗОК НА ДИАГОНАЛЯХ

x = (a - b) / 2

Отрезок средней линии, заключенный между диагоналями трапеции, равен полуразности оснований.
Раздел 3 из 5
3

Свойства равнобедренной трапеции

Равнобедренная трапеция обладает рядом уникальных свойств:

1. Углы при каждом основании равны:

∠A = ∠D, \quad ∠B = ∠C;

2. Диагонали равнобедренной трапеции равны:

AC=BD=dAC = BD = d;

3. Проекция боковой стороны на большее основание равна полуразности оснований:

AH=KD=a−b2AH = KD = \frac{a - b}{2};

4. Отрезок большего основания от вершины до основания высоты равен полусумме оснований (равен средней линии!):

HD=a−AH=a−a−b2=a+b2=mHD = a - AH = a - \frac{a - b}{2} = \frac{a + b}{2} = m;

5. Если диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны (d₁ ⊥ d₂), то ее высота равна средней линии:

h=m=a+b2,S=h2h = m = \frac{a + b}{2}, \quad S = h^2.
Равнобедренная трапеция: метрика
AH=a−b2;HD=a+b2=m;d1⊥d2  ⟹  h=m=a+b2,S=h2AH = \frac{a - b}{2};\quad \quad HD = \frac{a + b}{2} = m;\quad \quad d_1 \perp d_2 \implies h = m = \frac{a + b}{2}, \quad S = h^2
Если диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны, площадь равна квадрату высоты!
Раздел 4 из 5
4

Алгоритм стандартных дополнительных построений в трапеции

Для решения 95% задач на трапецию применяются 3 классических построения:

Метод 1
Проведение двух высот
Опустить высоты BH₁ и CH₂ на большее основание. Трапеция разбивается на прямоугольник в центре и два прямоугольных треугольника по краям.
Метод 2
Перенос боковой стороны (CK ∥ AB)
Провести через вершину C отрезок CK, параллельный боковой стороне AB. Образуется параллелограмм ABCK и треугольник CKD со сторонами bбок, bбок и (a - b).
Метод 3
Перенос диагонали (CP ∥ BD)
Провести прямую, параллельную диагонали. Образуется треугольник ACP с основанием AP = a + b и высотой h, равной высоте трапеции.
Раздел 5 из 5
5

Ловушки ЕНТ: Отрезок средней линии между диагоналями

Постоянное задание ЕНТ:

«Основания трапеции равны 16 см и 10 см. Найдите длину отрезка средней линии, заключенного между диагоналями трапеции».

Быстрое решение по золотой формуле ЕНТ:

Отрезок между точками пересечения средней линии с диагоналями всегда равен полуразности оснований:

x=a−b2=16−102=62=3x = \frac{a - b}{2} = \frac{16 - 10}{2} = \frac{6}{2} = 3 см!

Вывод:

Диагонали делят среднюю линию на 3 части: две крайние части равны полусумме верхнего основания (b/2 = 5 см каждая), а средняя часть равна (a - b)/2 = 3 см. Полная средняя линия: 5 + 3 + 5 = 13 см = (16 + 10)/2.

Формула ЕНТ для диагонального отрезка

Длина отрезка средней линии между диагоналями: x = (a - b) / 2. Не тратьте время на подобие треугольников — применяйте формулу напрямую!

Ваш прогресс по теме25%
Оглавление урока
Шпаргалка формул8 класс
Сумма углов n-угольника:
Sn=(n−2)⋅180∘S_n = (n - 2) \cdot 180^\circ[градусы]
Квадраты диагоналей:
d12+d22=2(a2+b2)d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)[см²]
Средняя линия трапеции:
m=a+b2m = \frac{a + b}{2}[см]
Площадь параллелограмма:
S=a⋅ha=absin⁡αS = a \cdot h_a = a b \sin\alpha[см²]