ibrain.kz
RUKZ
Предыдущая тема|Следующая: Трапеция: средняя линия, равнобедренная и прямоугольная трапеции
Геометрия · 8 класс1 четвертьТема 3ГОСО РК 2026Базовый

Прямоугольник, ромб, квадрат: свойства и признаки частных видов параллелограмма

Частные виды параллелограмма. Прямоугольник (равные диагонали), ромб (перпендикулярные диагонали-биссектрисы), квадрат. Формулы площадей и признаки.

Время изучения~75 минтеория + практика
Разделы темы5 разд.пошаговый разбор
Тест темы6 вопр.с мгновенным ответом
СОР / СОЧ1 четвертьдескрипторы ГОСО
Раздел 1 из 5
1

Прямоугольник: свойства и признаки

1. Определение:

Прямоугольник — параллелограмм, у которого все четыре угла прямые (по 90°).

2. Особое свойство прямоугольника:

Диагонали прямоугольника равны между собой:

d1=d2=dd_1 = d_2 = d.

Точка пересечения делит диагонали на 4 равных отрезка: AO = BO = CO = DO = 0.5 * d.

Следовательно, около любого прямоугольника можно описать окружность с центром в точке пересечения диагоналей и радиусом R = d / 2 = 0.5 * √(a² + b²).

3. Признаки прямоугольника:

• Если в параллелограмме диагонали равны, то он прямоугольник;

• Если в параллелограмме один угол прямой (90°), то он прямоугольник;

• Если в четырехугольнике три угла прямые, то он прямоугольник.

Чертеж: Ромб (перпендикулярные диагонали) и прямоугольник (равные диагонали)

Векторная схема
Ромб: d₁ ⊥ d₂S = (d₁ · d₂) / 2Прямоугольник: d₁ = d₂d = √(a² + b²)
В прямоугольнике d₁ = d₂; в ромбе d₁ ⊥ d₂ и диагонали делят углы пополам.
ПРЯМОУГОЛЬНИК

Равные диагонали

Параллелограмм с прямыми углами; диагонали d₁ = d₂ равны по теореме Пифагора.
ОПИСАННАЯ ОКР.

Центр в точке O

Окружность проходит через все 4 вершины прямоугольника; R = d / 2.
Прямоугольник: метрика
d=a2+b2;R=d2=a2+b22;S=a⋅b=12d2sin⁡φd = \sqrt{a^2 + b^2};\quad \quad R = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2};\quad \quad S = a \cdot b = \frac{1}{2}d^2 \sin \varphi
Диагональ прямоугольника является диаметром описанной около него окружности.
Раздел 2 из 5
2

Ромб: свойства и признаки

1. Определение:

Ромб — параллелограмм, у которого все четыре стороны равны: AB = BC = CD = DA = a.

2. Особые свойства ромба:

• Диагонали ромба взаимно перпендикулярны: d₁ ⊥ d₂;

• Диагонали ромба являются биссектрисами его углов: делят каждый угол ромба пополам;

• Диагонали разбивают ромб на четыре равных прямоугольных треугольника с катетами d₁/2 и d₂/2 и гипотенузой a;

• Сторона ромба выражается через диагонали: a² = (d₁/2)² + (d₂/2)² => 4a² = d₁² + d₂²;

• В любой ромб можно вписать окружность с центром в точке пересечения диагоналей и радиусом r = h / 2 = (d₁ * d₂) / (4a).

3. Признаки ромба:

• Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то он ромб;

• Если в параллелограмме диагональ является биссектрисой угла, то он ромб;

• Если в четырехугольнике все стороны равны, то он ромб.

РОМБ

Перпендикулярные диагонали

Параллелограмм с равными сторонами; d₁ ⊥ d₂ и делят углы пополам.
ВПИСАННАЯ ОКР.

Радиус r = h / 2

Высота ромба равна удвоенному радиусу вписанной окружности: h = 2r.
Ромб: золотые формулы
d1⊥d2;4a2=d12+d22;S=12d1d2=ah=a2sin⁡α;r=h2d_1 \perp d_2;\quad \quad 4a^2 = d_1^2 + d_2^2;\quad \quad S = \frac{1}{2}d_1 d_2 = a h = a^2 \sin \alpha;\quad \quad r = \frac{h}{2}
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
Раздел 3 из 5
3

Квадрат: венец симметрии четырехугольников

1. Определение:

Квадрат — это правильный четырехугольник, обладающий свойствами прямоугольника и ромба одновременно.

• Все 4 стороны равны (a = a);

• Все 4 угла равны 90°;

• Диагонали равны (d₁ = d₂ = d = a√2);

• Диагонали взаимно перпендикулярны (d₁ ⊥ d₂);

• Диагонали образуют со сторонами углы 45°.

2. Описанная и вписанная окружности квадрата:

• Центры вписанной и описанной окружностей совпадают (точка пересечения диагоналей);

• Радиус описанной окружности: R = d / 2 = a√2 / 2;

• Радиус вписанной окружности: r = a / 2;

• Отношение радиусов: R / r = √2.

Квадрат: формулы
d=a2;S=a2=12d2;R=a22,r=a2d = a\sqrt{2};\quad \quad S = a^2 = \frac{1}{2}d^2;\quad \quad R = \frac{a\sqrt{2}}{2}, \quad r = \frac{a}{2}
Отношение площадей описанного и вписанного кругов квадрата равно строго 2: Sопис / Sвпис = 2.
Раздел 4 из 5
4

Иерархия и классификация параллелограммов

Схема взаимосвязи четырехугольников:

Уровень 1
Параллелограмм (базовый класс)
Противоположные стороны параллельны. Свойства: a=c, b=d, углы 180°, диагонали точкой O пополам.
Уровень 2А
Прямоугольник (добавилось d₁ = d₂)
Все углы 90°. Появляется описанная окружность R = d / 2.
Уровень 2Б
Ромб (добавилось d₁ ⊥ d₂)
Все стороны равны. Появляется вписанная окружность r = h / 2.
Уровень 3
Квадрат (пересечение прямоугольника и ромба)
Объединяет ВСЕ свойства: d₁ = d₂, d₁ ⊥ d₂, вписанная и описанная окружности соосны.
Раздел 5 из 5
5

Ловушки ЕНТ: Радиусы окружностей ромба и квадрата

Классический вопрос ЕНТ:

«Диагонали ромба равны 12 см и 16 см. Найдите радиус вписанной в ромб окружности».

Ловушка:

Учащиеся путают радиус ромба с половиной стороны.

Правильный алгоритм в 3 действия:

1. Половины диагоналей: d₁/2 = 6 см, d₂/2 = 8 см.

2. Сторона ромба по теореме Пифагора: a = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = 10 см.

3. Площадь ромба: S = (1/2) * d₁ * d₂ = (1/2) * 12 * 16 = 96 см².

4. Высота ромба: h = S / a = 96 / 10 = 9.6 см.

5. Радиус вписанной окружности равен половине высоты: r = h / 2 = 9.6 / 2 = 4.8 см!

Формула ЕНТ для радиуса ромба

Запомните готовую формулу для ЕНТ: r = (d₁ * d₂) / (4a). Для диагоналей 12 и 16 и стороны 10: r = (12 * 16) / 40 = 192 / 40 = 4.8 см.

Ваш прогресс по теме25%
Оглавление урока
Шпаргалка формул8 класс
Сумма углов n-угольника:
Sn=(n−2)⋅180∘S_n = (n - 2) \cdot 180^\circ[градусы]
Квадраты диагоналей:
d12+d22=2(a2+b2)d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)[см²]
Средняя линия трапеции:
m=a+b2m = \frac{a + b}{2}[см]
Площадь параллелограмма:
S=a⋅ha=absin⁡αS = a \cdot h_a = a b \sin\alpha[см²]
Следующая тема

Трапеция: средняя линия, равнобедренная и прямоугольная трапеции

Перейти к теме →