Параллелограмм: свойства сторон, углов и диагоналей. Признаки параллелограмма

1. Определение:

Параллелограмм — четырехугольник ABCD, у которого противоположные стороны попарно параллельны: AB ∥ CD и BC ∥ AD.

2. Свойства параллелограмма:

• Свойство 1 (стороны): Противоположные стороны равны: AB = CD = a, BC = AD = b;

• Свойство 2 (углы): Противоположные углы равны: ∠A = ∠C, ∠B = ∠D;

• Свойство 3 (односторонние углы): Сумма углов, прилежащих к любой стороне, равна 180°:

∠A + ∠B = 180°, \quad ∠B + ∠C = 180°, \quad ∠C + ∠D = 180°, \quad ∠D + ∠A = 180°;

• Свойство 4 (диагонали): Диагонали пересекаются в точке O и делятся ею пополам:

Теорема (тождество параллелограмма):

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его четырех сторон (или удвоенной сумме квадратов двух смежных сторон):

Геометрический вывод:

Применяя теорему косинусов для треугольников ABC и ABD:

1. d₁² = a² + b² - 2ab * cos B;

2. d₂² = a² + b² - 2ab * cos A;

3. Так как ∠A + ∠B = 180°, то cos B = -cos A;

4. Складывая равенства, перекрестные члены взаимоуничтожаются:

d₁² + d₂² = 2a² + 2b² = 2(a² + b²). Что и требовалось доказать.

Четырехугольник ABCD является параллелограммом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1. Признак 1 (по двум равным и параллельным сторонам):

Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны (AB = CD и AB ∥ CD), то это параллелограмм.

2. Признак 2 (по попарно равным сторонам):

Если противоположные стороны попарно равны (AB = CD и BC = AD), то это параллелограмм.

3. Признак 3 (по попарно равным углам):

Если противоположные углы попарно равны (∠A = ∠C и ∠B = ∠D), то это параллелограмм.

4. Признак 4 (по диагоналям):

Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам (AO = OC, BO = OD), то это параллелограмм.

Золотая теорема планиметрии о биссектрисе параллелограмма:

Биссектриса любого угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник!

Доказательство:

1. Пусть луч AK — биссектриса угла A параллелограмма ABCD (K лежит на стороне BC).

2. Тогда ∠1 = ∠2 (так как AK — биссектриса).

3. С другой стороны, ∠2 = ∠3 как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD ∥ BC и секущей AK.

4. Следовательно, ∠1 = ∠3.

5. В треугольнике ABK углы при основании равны (∠1 = ∠3), значит, треугольник ABK — равнобедренный, и AB = BK.

Следствие:

Биссектрисы соседних углов параллелограмма взаимно перпендикулярны (∠AKB = 90°), так как сумма половин соседних углов: α/2 + β/2 = (α + β)/2 = 180°/2 = 90°.

Популярная задача ЕНТ:

«Биссектриса угла A параллелограмма ABCD делит сторону BC на отрезки BK = 7 см и KC = 4 см. Найдите периметр параллелограмма».

Ловушка:

Здесь возможно ДВА случая в зависимости от того, от какой вершины отсчитываются отрезки!

Случай 1: BK = 7 см, KC = 4 см.

Тогда сторона BC = 7 + 4 = 11 см. Так как △ABK равнобедренный, AB = BK = 7 см.

Периметр: P = 2 * (11 + 7) = 36 см.

Случай 2: Биссектриса отсекает отрезки от вершины C: тогда BK = 4 см, KC = 7 см.

Сторона BC = 11 см, но AB = BK = 4 см.

Периметр: P = 2 * (11 + 4) = 30 см.

Ответ: 36 см или 30 см!