ibrain.kz
RUKZ
Предыдущая тема|Следующая: Длина окружности, площадь круга, площадь кругового сектора и кругового сегмента
Геометрия · 9 класс3 четвертьТема 7ГОСО РК 2026Базовый

Формулы площади треугольника: формула Герона, через радиусы вписанной и описанной окружностей

Пять главных формул площади треугольника. Формула через сторону и высоту, через две стороны и синус угла, формула Герона, формулы через радиусы r и R.

Время изучения~75 минтеория + практика
Разделы темы5 разд.пошаговый разбор
Тест темы5 вопр.с мгновенным ответом
СОР / СОЧ3 четвертьдескрипторы ГОСО
Раздел 1 из 5
1

Пять фундаментальных формул площади треугольника

Для любого треугольника со сторонами a, b, c, полупериметром p = (a + b + c) / 2 и высотой ha:

1. Основная формула (через основание и высоту):

S=12ahaS = \frac{1}{2} a h_a.

2. Тригонометрическая формула (через две стороны и угол между ними):

S=12absin⁡C=12bcsin⁡A=12acsin⁡BS = \frac{1}{2} a b \sin C = \frac{1}{2} b c \sin A = \frac{1}{2} a c \sin B.

3. Формула Герона Александрийского (через три стороны):

S=p(p−a)(p−b)(p−c)S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}.

4. Формула через радиус вписанной окружности (r):

S=p⋅r  ⟺  r=SpS = p \cdot r \iff r = \frac{S}{p}.

5. Формула через радиус описанной окружности (R):

S=abc4R  ⟺  R=abc4SS = \frac{a b c}{4R} \iff R = \frac{a b c}{4S}.

Чертеж: Формулы площади через радиусы вписанной и описанной окружностей

Векторная схема
ABCR (описанная окр.)aТеорема синусов: a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R
S = (1/2)ab sin C = √(p(p-a)(p-b)(p-c)) = p · r = (abc) / (4R).
ФОРМУЛА ГЕРОНА

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c))

Позволяет вычислить точную площадь по трем сторонам без нахождения углов и высот.
РАДИУС r = S / p

Вписанная окружность

Радиус вписанной окружности равен площади, деленной на полупериметр.
Пять формул площади треугольника
S=12ah=12absin⁡C=p(p−a)(p−b)(p−c)=pr=abc4RS = \frac{1}{2}ah = \frac{1}{2}ab\sin C = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = pr = \frac{abc}{4R}
Радиусы окружностей выражаются через площадь: r = S / p; R = (abc) / (4S).
Раздел 2 из 5
2

Площадь прямоугольного и равностороннего треугольников

Частные формулы для специальных треугольников:

1. Прямоугольный треугольник (катеты a и b, гипотенуза c):

• S = 0.5 * a * b = 0.5 * c * hc;

• Радиус описанной окружности: R = c / 2;

• Радиус вписанной окружности: r = (a + b - c) / 2 = S / p.

2. Равносторонний (правильный) треугольник со стороной a:

• S = (a²√3) / 4;

• Высота: h = (a√3) / 2;

• Радиус описанной окружности: R = (a√3) / 3 = 2r;

• Радиус вписанной окружности: r = (a√3) / 6 = R / 2.

ПРАВИЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

S = a²√3 / 4

Универсальная формула площади равностороннего треугольника со стороной a.
r = (a + b - c) / 2

Прямоугольный треугольник

Сверхбыстрая формула радиуса вписанной окружности прямоугольного треугольника.
Равносторонний треугольник
S=a234;h=a32;R=a33,r=a36S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4};\quad \quad h = \frac{a\sqrt{3}}{2};\quad \quad R = \frac{a\sqrt{3}}{3}, \quad r = \frac{a\sqrt{3}}{6}
В правильном треугольнике радиус описанной окружности ровно в 2 раза больше радиуса вписанной: R = 2r!
Раздел 3 из 5
3

Метод площадей в решении задач

Метод площадей — мощный эвристический прием планиметрии:

1. Площадь фигуры вычисляется двумя разными формулами (например, через Герона и через основание с высотой: Sгерона = 0.5 * a * ha);

2. Из полученного уравнения выражается искомый неизвестный элемент (высота: ha = 2S / a);

3. Аналогично находятся радиусы окружностей: r = S / p и R = abc / (4S).

МЕТОД ПЛОЩАДЕЙ

Двойной расчет

Вычисление площади двумя способами позволяет находить высоты и радиусы без тригонометрии.
Раздел 4 из 5
4

Алгоритм нахождения радиусов r и R произвольного треугольника

Стандартная схема экзаменационной задачи:

Шаг 1
Нахождение полупериметра
Сложить стороны и разделить на 2: p = (a + b + c) / 2.
Шаг 2
Вычисление площади по формуле Герона
S = √(p(p - a)(p - b)(p - c)).
Шаг 3
Нахождение радиусов r и R
Радиус вписанной: r = S / p; радиус описанной: R = (a * b * c) / (4S).
Раздел 5 из 5
5

Ловушки ЕНТ: Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника

Классическая задача ЕНТ:

«В прямоугольном треугольнике катеты равны 6 см и 8 см. Найдите радиус вписанной окружности».

Долгий путь: гипотенуза 10, периметр 24, p = 12, S = 24, r = S / p = 24 / 12 = 2 см.

Быстрый путь по золотой формуле ЕНТ:

Для прямоугольного треугольника радиус вписанной окружности ВСЕГДА равен:

r=a+b−c2=6+8−102=42=2r = \frac{a + b - c}{2} = \frac{6 + 8 - 10}{2} = \frac{4}{2} = 2 см!

Решение в уме за 3 секунды.

Формула ЕНТ для радиуса r прямоугольного треугольника

Запомните формулу r = (a + b - c) / 2. Она работает для абсолютно любого прямоугольного треугольника!

Ваш прогресс по теме25%
Оглавление урока
Шпаргалка формул9 класс
Длина вектора на плоскости:
∣a⃗∣=x2+y2|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}[ед.]
Скалярное произведение векторов:
a⃗⋅b⃗=x1x2+y1y2=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡φ\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\varphi[ед.²]
Условие ортогональности векторов:
a⃗⊥b⃗  ⟺  x1x2+y1y2=0\vec{a} \perp \vec{b} \iff x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0
Расстояние между двумя точками:
d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}[ед.]
Следующая тема

Длина окружности, площадь круга, площадь кругового сектора и кругового сегмента

Перейти к теме →