ibrain.kz
RUKZ
Предыдущая тема|Следующая: Правильные многоугольники: формулы стороны правильного многоугольника через радиусы R и r
Геометрия · 9 класс4 четвертьТема 8ГОСО РК 2026Базовый

Длина окружности, площадь круга, площадь кругового сектора и кругового сегмента

Число π. Формула длины окружности (C = 2πR) и длины дуги. Площадь круга (S = πR²), площадь сектора и сегмента.

Время изучения~75 минтеория + практика
Разделы темы5 разд.пошаговый разбор
Тест темы5 вопр.с мгновенным ответом
СОР / СОЧ4 четвертьдескрипторы ГОСО
Раздел 1 из 5
1

Число π и длина окружности

1. Число π:

Математическая константа, равная отношению длины окружности C к ее диаметру D:

π=CD=C2R≈3.14159265..\pi = \frac{C}{D} = \frac{C}{2R} \approx 3.14159265...

Число π является иррациональным и трансцендентным числом.

2. Длина окружности:

Формула длины окружности радиуса R:

C=2πR=πDC = 2\pi R = \pi D.

3. Длина дуги окружности:

Так как вся окружность содержит 360°, то на 1° центрального угла приходится дуга длиной: C / 360° = 2πR / 360° = πR / 180°.

Длина дуги l, соответствующей центральному углу α (в градусах):

l=πRα180∘l = \frac{\pi R \alpha}{180^\circ}.

Чертеж: Круговой сектор и длина дуги

Векторная схема
αRl (дуга)OДлина дуги: l = (πRα) / 180°; Площадь сектора: S = (πR²α) / 360° = (l · R) / 2
Центральный угол α; радиус R; длина дуги l = (πRα) / 180°; площадь сектора S = (πR²α) / 360° = (l · R) / 2.
ЧИСЛО π

π ≈ 3.14

Константа отношения длины окружности к ее диаметру: π = C / D.
ДЛИНА ДУГИ l

Пропорция от угла

Длина части окружности, отсекаемой центральным углом α градусов.
Длина окружности и дуги
C=2πR=πD;l=πRα180∘=R⋅θрадC = 2\pi R = \pi D;\quad \quad l = \frac{\pi R \alpha}{180^\circ} = R \cdot \theta_\text{рад}
Если угол задан в радианах θ, то формула длины дуги принимает предельно простой вид: l = R * θ.
Раздел 2 из 5
2

Площадь круга и кругового кольца

1. Площадь круга:

Площадь круга радиуса R (или диаметра D = 2R) равна произведению числа π на квадрат радиуса:

S=πR2=πD24S = \pi R^2 = \frac{\pi D^2}{4}.

Доказательство методом пределов (Архимед):

Впишем в круг правильный n-угольник. При n → ∞ периметр n-угольника Pn → 2πR, а апофема rn → R.

Площадь n-угольника: Sn = 0.5 * Pn * rn → 0.5 * (2πR) * R = πR². Формула доказана.

2. Круговое кольцо:

Фигура между двумя концентрическими окружностями с общим центром и радиусами R (внешний) и r (внутренний):

Sкольца = π\pi R^2 - π\pi r2=πr^2 = \pi (R^2 - r^2).

ПЛОЩАДЬ КРУГА

S = πR²

Квадратичная зависимость площади от радиуса круга.
КОЛЬЦО

S = π(R² - r²)

Разность площадей внешнего и внутреннего кругов с общим центром.
Площадь круга и кольца
Sкруга=πR2=πD24;Sкольца=π(R2−r2)S_\text{круга} = \pi R^2 = \frac{\pi D^2}{4};\quad \quad S_\text{кольца} = \pi (R^2 - r^2)
При увеличении радиуса круга в 3 раза его площадь увеличивается в 3² = 9 раз!
Раздел 3 из 5
3

Площадь кругового сектора и сегмента

1. Круговой сектор:

Часть круга, ограниченная дугой окружности и двумя радиусами, проведенными к концам этой дуги.

Площадь сектора с центральным углом α:

Sсект=πR2α360∘=l⋅R2S_\text{сект} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360^\circ} = \frac{l \cdot R}{2},

где l — длина дуги сектора (формула аналогична площади треугольника 0.5 * основание * высота!).

2. Круговой сегмент:

Часть круга, ограниченная дугой и стягивающей ее хордой.

Площадь сегмента равна площади соответствующего сектора плюс/минус площадь треугольника AOB:

• При α < 180°: Sсегм = Sсект - S_{△AOB} = πR2α360∘−12\frac{\pi R^2 \alpha}{360^\circ} - \frac{1}{2} R^2 sin⁡\sin α\alpha;

• При α > 180°: Sсегм = Sсект + S_{△AOB}.

Сектор и сегмент
Sсект=πR2α360∘=lR2;Sсегм=R22(πα180∘−sin⁡α)S_\text{сект} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360^\circ} = \frac{l R}{2};\quad \quad S_\text{сегм} = \frac{R^2}{2} \left( \frac{\pi \alpha}{180^\circ} - \sin \alpha \right)
Площадь сектора равна половине произведения длины его дуги на радиус: S = (l · R) / 2.
Раздел 4 из 5
4

Алгоритм вычисления элементов сектора и сегмента

Шаги для расчета параметров круговых фигур:

Шаг 1
Нахождение доли от полного круга
Вычислить коэффициент: k = α / 360° (например, для 60°: 60/360 = 1/6 круга; для 90°: 1/4 круга).
Шаг 2
Вычисление площади сектора
Умножить площадь полного круга на долю: Sсект = k * πR².
Шаг 3
Вычитание треугольника (для сегмента)
Найти площадь равнобедренного треугольника S_△ = 0.5 * R² * sin α и вычесть из площади сектора.
Раздел 5 из 5
5

Ловушки ЕНТ: Формула площади сектора через длину дуги

Задача ЕНТ:

«Длина дуги кругового сектора равна 10 см, а радиус круга равен 6 см. Найдите площадь сектора».

Долгий путь: искать угол α через формулу длины дуги, подставлять π, затем считать площадь.

Мгновенный метод ЕНТ:

Площадь сектора напрямую выражается через длину дуги l и радиус R:

S_\text{сект} = l⋅R2=10⋅62=602=30\frac{l \cdot R}{2} = \frac{10 \cdot 6}{2} = \frac{60}{2} = 30 см²!

Никаких градусов, числа π и сложных дробей!

Формула ЕНТ: S = (l · R) / 2

Формула S = (l · R) / 2 идеально аналогична формуле площади треугольника S = (a · h) / 2, где дуга l — основание, а радиус R — высота!

Ваш прогресс по теме25%
Оглавление урока
Шпаргалка формул9 класс
Длина вектора на плоскости:
∣a⃗∣=x2+y2|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}[ед.]
Скалярное произведение векторов:
a⃗⋅b⃗=x1x2+y1y2=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡φ\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\varphi[ед.²]
Условие ортогональности векторов:
a⃗⊥b⃗  ⟺  x1x2+y1y2=0\vec{a} \perp \vec{b} \iff x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0
Расстояние между двумя точками:
d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}[ед.]
Следующая тема

Правильные многоугольники: формулы стороны правильного многоугольника через радиусы R и r

Перейти к теме →