ibrain.kz
RUKZ
Предыдущая тема|Следующая: Синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике
Геометрия · 8 класс3 четвертьТема 8ГОСО РК 2026Базовый

Отношение площадей подобных фигур. Теорема Фалеса и пропорциональное деление отрезков

Теорема об отношении площадей подобных треугольников (S₁/S₂ = k²). Теорема Фалеса. Обобщенная теорема Фалеса (теорема о пропорциональных отрезках).

Время изучения~75 минтеория + практика
Разделы темы5 разд.пошаговый разбор
Тест темы6 вопр.с мгновенным ответом
СОР / СОЧ3 четвертьдескрипторы ГОСО
Раздел 1 из 5
1

Теорема об отношении площадей подобных фигур

Теорема:

Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

SS1=k2\frac{S}{S_1} = k^2.

Доказательство:

1. Пусть △ABC ~ △A₁B₁C₁ с коэффициентом подобия k.

2. Стороны относятся как k: a = k * a₁, а высоты, опущенные на эти стороны, также относятся как k: h = k * h₁.

3. Площадь первого треугольника: S = 0.5 * a * h = 0.5 * (k * a₁) * (k * h₁) = k² * (0.5 * a₁ * h₁) = k² * S₁.

4. Разделив обе части на S₁, получаем: S / S₁ = k². Теорема доказана.

Следствия для любых подобных фигур:

• Отношение площадей любых подобных многоугольников (и кругов) равно k²;

• Отношение объемов подобных тел равно k³: V / V₁ = k³.

Чертеж: Площади подобных фигур относятся как k²

Векторная схема
BAC△ABCB₁A₁C₁△A₁B₁C₁ (коэффициент k)AB/A₁B₁ = BC/B₁C₁ = AC/A₁C₁ = k; S₁ / S = k²
При увеличении сторон в k раз площадь увеличивается в k² раз (S = k² · S₁).
ЗАКОН k²

Квадрат масштаба

Площадь измеряется в квадратных единицах, поэтому масштабный множитель возводится в квадрат.
ОБРАТНЫЙ РАСЧЕТ

k = √(S / S₁)

Коэффициент подобия равен квадратному корню из отношения площадей.
Закон квадрата площадей
SS1=k2=(aa1)2=(PP1)2;k=SS1\frac{S}{S_1} = k^2 = \left(\frac{a}{a_1}\right)^2 = \left(\frac{P}{P_1}\right)^2;\quad \quad k = \sqrt{\frac{S}{S_1}}
Если стороны треугольника увеличить в 3 раза, его площадь возрастет в 9 раз!
Раздел 2 из 5
2

Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках

1. Классическая теорема Фалеса Милетского:

Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки:

A₁A₂ = A₂A₃ = A₃A₄ \implies B₁B₂ = B₂B₃ = B₃B₄.

2. Обобщенная теорема Фалеса (о пропорциональных отрезках):

Параллельные прямые, пересекающие две данные прямые, отсекают на них пропорциональные отрезки:

\frac{A_1A_2}{A_2A_3} = \frac{B_1B_2}{B_2B_3}.

Следствие для треугольника (свойство параллельной прямой):

Прямая, параллельная стороне треугольника, делит две другие стороны на пропорциональные части.

Чертеж: Теорема Фалеса и пропорциональное деление отрезков

Векторная схема
a₁ ∥ a₂ ∥ a₃Теорема Фалеса: A₁A₂ / A₂A₃ = B₁B₂ / B₂B₃
Параллельные прямые a₁ ∥ a₂ ∥ a₃ отсекают на двух пересекающихся прямых пропорциональные отрезки.
ТЕОРЕМА ФАЛЕСА

Равные отрезки

Параллельные секущие сохраняют равенство отрезков на пересекаемых прямых.
ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ

Обобщение Фалеса

Отношение отрезков на одной секущей строго равно отношению соответствующих отрезков на другой.
Теорема Фалеса
a_1 \parallel a_2 \parallel a_3 \implies \frac{A_1A_2}{A_2A_3} = \frac{B_1B_2}{B_2B_3}; \quad \frac{A_1A_2}{A_1A_3} = \frac{B_1B_2}{B_1B_3}
Позволяет делить любой отрезок на заданное число равных частей с помощью циркуля и линейки.
Раздел 3 из 5
3

Деление площадей в трапеции при пересечении диагоналей

В трапеции ABCD с основаниями AD = a и BC = b диагонали разбивают трапецию на 4 треугольника (точки пересечения O):

1. Треугольники при основаниях подобны:

△BOC ~ △DOA, а отношение их площадей равно квадрату отношения оснований: S_{BOC} / S_{DOA} = (b / a)² = k²;

2. Боковые треугольники равновелики (имеют РАВНЫЕ площади!):

SABO=SCDO=SBOC⋅SDOAS_{ABO} = S_{CDO} = \sqrt{S_{BOC} \cdot S_{DOA}};

3. Полная площадь трапеции выражается через площади оснований:

SABCD=SBOC+SDOA  ⟹  SABCD=(S1+S2)2\sqrt{S_{ABCD}} = \sqrt{S_{BOC}} + \sqrt{S_{DOA}} \implies S_{ABCD} = (\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2})^2.
Золотая формула площадей трапеции
SABO=SCDO=S1S2;Sтрапеции=(S1+S2)2S_{ABO} = S_{CDO} = \sqrt{S_1 S_2};\quad \quad S_\text{трапеции} = (\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2})^2
Площади боковых треугольников трапеции ВСЕГДА строго равны между собой!
Раздел 4 из 5
4

Алгоритм решения задач на площади подобных фигур

Шаги для расчета площадей:

Шаг 1
Нахождение линейного коэффициента k
Разделить соответственные стороны (или периметры) двух подобных фигур: k = a₁ / a₂.
Шаг 2
Возведение в квадрат
Вычислить коэффициент отношения площадей: k².
Шаг 3
Расчет площади
Умножить площадь меньшей фигуры на k² для получения площади большей: S₁ = k² * S₂.
Раздел 5 из 5
5

Ловушки ЕНТ: Путаница между k и k²

Самая частая ловушка ЕНТ:

«Стороны треугольника увеличили в 4 раза. Во сколько раз увеличилась его площадь?»

Почти 40% абитуриентов механически выбирают ответ «в 4 раза».

Правильный ответ: в 16 раз! Площадь зависит от квадрата линейного коэффициента: S / S₁ = k² = 4² = 16.

Обратная ловушка:

«Площадь круга увеличилась в 25 раз. Во сколько раз увеличился его радиус?»

Ответ: в √25 = 5 раз!

Ловушка ЕНТ: Линейные величины vs Площади

Если меняются стороны, высоты, периметры — отношение равно k. Если меняется площадь — отношение равно k²!

Ваш прогресс по теме25%
Оглавление урока
Шпаргалка формул8 класс
Сумма углов n-угольника:
Sn=(n−2)⋅180∘S_n = (n - 2) \cdot 180^\circ[градусы]
Квадраты диагоналей:
d12+d22=2(a2+b2)d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)[см²]
Средняя линия трапеции:
m=a+b2m = \frac{a + b}{2}[см]
Площадь параллелограмма:
S=a⋅ha=absin⁡αS = a \cdot h_a = a b \sin\alpha[см²]
Следующая тема

Синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике

Перейти к теме →