ibrain.kz
RUKZ
Предыдущая тема|Следующая: Декартовы координаты и векторы в пространстве: длина вектора и скалярное произведение
Геометрия · 11 класс2 четвертьТема 6ГОСО РК 2026Базовый

Объемы тел вращения: объем цилиндра, конуса, усеченного конуса и шара

Вычисление объемов тел вращения. Принцип Кавальери, объем прямого кругового цилиндра V = πR²H, конуса V = (1/3)πR²H, усеченного конуса V = (1/3)πH(R₁² + R₁R₂ + R₂²) и шара V = (4/3)πR³.

Время изучения~75 минтеория + практика
Разделы темы5 разд.пошаговый разбор
Тест темы6 вопр.с мгновенным ответом
СОР / СОЧ2 четвертьдескрипторы ГОСО
Раздел 1 из 5
1

Понятие объема тела и принцип Кавальери

1. Свойства объема:

• Неотрицательность: объем тела V >= 0;

• Аддитивность: если тело разбито на непересекающиеся части, его объем равен сумме объемов этих частей: V = V₁ + V₂ + ... + Vₙ;

• Равные тела имеют равные объемы (инвариантность при движении);

• За единицу объема принимается куб с ребром единичной длины (1 см³, 1 м³).

2. Принцип Кавальери:

Если при пересечении двух тел любыми плоскостями, параллельными заданной плоскости, площади сечений первого тела равны площадям сечений второго тела, то объемы этих тел равны.

3. Следствие:

Любая наклонная призма (или цилиндр) имеет такой же объем, как и прямая призма (цилиндр) с тем же основанием и той же высотой.

Чертеж: Объемы тел вращения (конус, цилиндр, шар)

Векторная схема
S (вершина)HRL = √(R² + H²)Конус: V = (1/3)πR²H; Sбок = πRL; Sполн = πR(R + L)
Конус V = (1/3)πR²H, цилиндр V = πR²H, шар V = (4/3)πR³; отношение объемов конуса, шара и цилиндра одинакового диаметра 2R и высоты 2R составляет 1 : 2 : 3 (теорема Архимеда).
ПРИНЦИП КАВАЛЬЕРИ

Равенство сечений

Если сечения тел на одинаковой высоте имеют равные площади, то тела равновелики.
ТЕОРЕМА АРХИМЕДА

Отношение 1 : 2 : 3

Объемы конуса, шара и цилиндра с радиусом R и высотой 2R относятся как 1 : 2 : 3.
Принцип Кавальери и базовые объемы
Vцилиндра=πR2H;Vконуса=13πR2H;Vшара=43πR3V_\text{цилиндра} = \pi R^2 H;\quad \quad V_\text{конуса} = \frac{1}{3}\pi R^2 H;\quad \quad V_\text{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3
Объем конуса составляет ровно 1/3 объема цилиндра с равным основанием и высотой.
Раздел 2 из 5
2

Объем прямого цилиндра и усеченного конуса

1. Объем прямого кругового цилиндра:

Основание — круг площади Sосн = πR², образующая перпендикулярна основанию и равна высоте H.

Формула объема:

V = Sосн * H = πR²H.

Через диаметр основания D = 2R: V = (πD²H) / 4.

2. Объем усеченного конуса:

Усеченный конус образуется вращением прямоугольной трапеции вокруг стороны, перпендикулярной основаниям. Радиусы нижнего и верхнего оснований — R₁ и R₂, высота — H.

Формула объема:

V = (1/3) * πH * (R₁² + R₁R₂ + R₂²).

Геометрический смысл: объем усеченного конуса равен разности объемов полного исходного конуса высоты H₁ и отсеченного малого конуса высоты H₂: V = Vполн - Vотсеч.

ЦИЛИНДР

V = πR²H

Объем цилиндра равен площади круга в основании, умноженной на высоту.
УСЕЧЕННЫЙ КОНУС

R₁² + R₁R₂ + R₂²

Неполный квадрат суммы радиусов лежит в основе формулы усеченного конуса.
Цилиндр и усеченный конус
Vцилиндра=πR2H;Vусеч. конуса=13πH(R12+R1R2+R22)V_\text{цилиндра} = \pi R^2 H;\quad \quad V_\text{усеч. конуса} = \frac{1}{3}\pi H (R_1^2 + R_1 R_2 + R_2^2)
При R₂ = 0 формула усеченного конуса переходит в обычный конус V = (1/3)πR₁²H.
Раздел 3 из 5
3

Объем шара и его геометрических частей

1. Объем шара радиуса R:

V=(4/3)πR3V = (4/3) \pi R^3.

Через диаметр шара D = 2R:

V=(1/6)πD3≈0.5236D3V = (1/6) \pi D^3 \approx 0.5236 D^3.

2. Шаровой сегмент:

Часть шара, отсекаемая плоскостью. Высота сегмента — h, радиус шара — R, радиус основания сегмента — r.

Формула объема сегмента:

Vсегм = πh²(R - h/3) = (1/6)πh(3r² + h²).

3. Шаровой сектор:

Тело, состоящее из шарового сегмента и конуса с вершиной в центре шара:

Vсект = (2/3)πR²h, где h — высота соответствующего шарового сегмента.

ШАР

V = 4/3 πR³

Производная объема шара по радиусу R дает площадь его сферы: dV/dR = 4πR² = S!
Объем шара и сегмента
Vшара=43πR3;Vсегмента=πh2(R−h3);Vсектора=23πR2hV_\text{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3;\quad \quad V_\text{сегмента} = \pi h^2 \left(R - \frac{h}{3}\right);\quad \quad V_\text{сектора} = \frac{2}{3}\pi R^2 h
h — высота сегмента, отсчитываемая от полюса сферы до секущей плоскости.
Раздел 4 из 5
4

Алгоритм вычисления объемов тел вращения

Пошаговое нахождение объема тела вращения:

Шаг 1
Определение геометрического типа тела
Установить, является ли тело прямым цилиндром, конусом, усеченным конусом или шаром.
Шаг 2
Нахождение основных линейных параметров
Из условия задачи вычислить радиусы оснований (R, R₁, R₂) и высоту H (используя теорему Пифагора для образующей L² = R² + H²).
Шаг 3
Применение формулы объема
Подставить линейные величины в формулу объема и провести алгебраические упрощения, сохраняя константу π или округляя по требованию.
Раздел 5 из 5
5

Ловушки ЕНТ: Подобие тел вращения и изменение объема

Типовая тестовая задача ЕНТ:

«Радиус основания конуса увеличили в 3 раза, а высоту уменьшили в 2 раза. Во сколько раз изменился объем конуса?»

Частая ошибка:

Ученики рассуждают: радиус в 3 раза больше, высота в 2 раза меньше, значит объем увеличился в 3/2 = 1.5 раза.

Правильный расчет:

Формула объема: V = (1/3)πR²H.

Радиус входит в формулу ВО ВТОРОЙ СТЕПЕНИ (в квадрате!):

Vновый = (1/3)π * (3R)² * (H / 2) = (1/3)π * 9R² * (H / 2) = 4.5 * ((1/3)πR²H) = 4.5 Vисх.

Объем конуса увеличился в 4.5 раза!

Закон степени в объеме

Радиус основания входит в объем цилиндра и конуса в квадрате, а в объем шара — в кубе. При изменении радиуса шара в k раз его объем возрастает в k³ раз!

Ваш прогресс по теме25%
Оглавление урока
Шпаргалка формул11 класс
Поверхность цилиндра:
Sбок=2πRh,Sполн=2πR(h+R)S_{бок} = 2\pi R h, \quad S_{полн} = 2\pi R(h + R)[см²]
Поверхность конуса:
Sбок=πRl,Sполн=πR(l+R)S_{бок} = \pi R l, \quad S_{полн} = \pi R(l + R)[см²]
Площадь сферы:
S=4πR2=πD2S = 4\pi R^2 = \pi D^2[см²]
Объем призмы и параллелепипеда:
V=Sосн⋅h,Vпар=abcV = S_{осн} \cdot h, \quad V_{пар} = a b c[см³]
Следующая тема

Декартовы координаты и векторы в пространстве: длина вектора и скалярное произведение

Перейти к теме →