ibrain.kz
RUKZ
Предыдущая тема|Следующая: Уравнение плоскости и прямой в пространстве. Расстояние от точки до плоскости
Геометрия · 11 класс3 четвертьТема 7ГОСО РК 2026Базовый

Декартовы координаты и векторы в пространстве: длина вектора и скалярное произведение

Прямоугольная система координат Oxyz в пространстве. Координаты точки и вектора. Длина вектора, расстояние между точками, деление отрезка. Скалярное произведение и условие ортогональности.

Время изучения~75 минтеория + практика
Разделы темы5 разд.пошаговый разбор
Тест темы6 вопр.с мгновенным ответом
СОР / СОЧ3 четвертьдескрипторы ГОСО
Раздел 1 из 5
1

Прямоугольная система координат Oxyz и координаты точки в пространстве

1. Координатные оси и плоскости:

• Ox — ось абсцисс, Oy — ось ординат, Oz — ось аппликат;

• Три координатные плоскости: Oxy (z = 0), Oxz (y = 0), Oyz (x = 0) разбивают пространство на 8 октантов;

• Точка O(0, 0, 0) — начало координат.

2. Координаты точки M(x, y, z):

Числа x, y, z равны направленным расстояниям от проекций точки M на соответствующие координатные оси до начала координат O.

3. Координаты середины отрезка AB:

Для точек A(x₁, y₁, z₁) и B(x₂, y₂, z₂):

xM=(x1+x2)/2,yM=(y1+y2)/2,zM=(z1+z2)/2x_M = (x_1 + x_2) / 2, \quad y_M = (y_1 + y_2) / 2, \quad z_M = (z_1 + z_2) / 2.

Чертеж: Декартова трехмерная система координат Oxyz

Векторная схема
Oz (аппликата)Oy (ордината)Ox (абсцисса)O(0,0,0)M(x, y, z)Расстояние: d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²)
Координатные оси Ox, Oy, Oz, радиус-вектор OM и проекции точки M(x, y, z) на координатные плоскости; r² = x² + y² + z².
ОСИ OXYZ

Абсцисса, ордината, аппликата

x — абсцисса, y — ордината, z — аппликата точки в пространстве.
РАССТОЯНИЕ В ПРОСТРАНСТВЕ

Теорема Пифагора в 3D

Квадрат расстояния равен сумме квадратов разностей трех координат.
Расстояние и середина отрезка в Oxyz
d(A,B)=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2;M(x1+x22,y1+y22,z1+z22)d(A, B) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2};\quad \quad M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2}\right)
Расстояние от точки M(x, y, z) до начала координат O: d(O, M) = √(x² + y² + z²).
Раздел 2 из 5
2

Векторы в пространстве: координаты, модуль и линейные операции

1. Вектор AB:

Если A(x₁, y₁, z₁) и B(x₂, y₂, z₂), то координаты вектора AB:

AB=(x2−x1,y2−y1,z2−z1)AB = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1).

2. Модуль (длина) вектора a(x, y, z):

|a| = √(x² + y² + z²).

3. Линейные операции над векторами a(x₁, y₁, z₁) и b(x₂, y₂, z₂):

• Сложение: a + b = (x₁ + x₂, y₁ + y₂, z₁ + z₂);

• Вычитание: a - b = (x₁ - x₂, y₁ - y₂, z₁ - z₂);

• Умножение на скаляр k: k * a = (k * x₁, k * y₁, k * z₁).

4. Условие коллинеарности векторов:

Векторы a и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны:

x1/x2=y1/y2=z1/z2=kx_1 / x_2 = y_1 / y_2 = z_1 / z_2 = k.
КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА

Конец минус начало

Из координат конца B вычитаются соответствующие координаты начала A.
КОЛЛИНЕАРНОСТЬ

Пропорциональность

Отношения координат параллельных векторов равны постоянному коэффициенту k.
Модуль и коллинеарность векторов
∣a⃗∣=x2+y2+z2;a⃗∥b⃗  ⟺  x1x2=y1y2=z1z2=k|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2};\quad \quad \vec{a} \parallel \vec{b} \iff \frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} = \frac{z_1}{z_2} = k
Если k > 0, векторы сонаправлены; если k < 0 — противоположно направлены.
Раздел 3 из 5
3

Скалярное произведение векторов и угол между ними

1. Определение скалярного произведения:

Скалярным произведением векторов a и b называется число, равное произведению их длин на косинус угла φ между ними:

a⋅b=∣a∣∗∣b∣∗cosφa \cdot b = |a| * |b| * cos \varphi .

2. Скалярное произведение в координатной форме:

a · b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂.

3. Косинус угла между векторами:

cos φ = (x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂) / (√(x₁² + y₁² + z₁²) * √(x₂² + y₂² + z₂²)).

4. Критерий ортогональности (перпендикулярности):

Ненулевые векторы a и b перпендикулярны (a ⊥ b) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю:

x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ = 0.
ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ

a · b = 0

Скалярное произведение перпендикулярных векторов всегда равно нулю.
Скалярное произведение и косинус угла
a⃗⋅b⃗=x1x2+y1y2+z1z2;cos⁡φ=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣∣b⃗∣;a⃗⊥b⃗  ⟺  a⃗⋅b⃗=0\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2;\quad \quad \cos \varphi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|};\quad \quad \vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0
Если скалярное произведение положительно, угол острый; если отрицательно — тупой.
Раздел 4 из 5
4

Алгоритм вычисления угла между скрещивающимися прямыми

Векторно-координатный метод нахождения угла между прямыми:

Шаг 1
Введение системы координат
Выбрать удобное начало координат O (часто вершина куба или призмы) и направить оси Ox, Oy, Oz вдоль ребер многогранника.
Шаг 2
Определение координат точек и направляющих векторов
Найти координаты вершин концов отрезков и составить направляющие векторы s₁ и s₂ прямых.
Шаг 3
Вычисление скалярного произведения и длин
Найти s₁ · s₂ = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ и длины |s₁|, |s₂|.
Шаг 4
Нахождение косинуса острого угла
Угол между прямыми лежит в пределах [0°; 90°], поэтому берется модуль: cos φ = |s₁ · s₂| / (|s₁| · |s₂|).
Раздел 5 из 5
5

Ловушки ЕНТ: Острый угол между прямыми против угла между векторами

Типовое задание ЕНТ:

«Найдите косинус угла между прямыми, направляющие векторы которых равны a(1; -2; 2) и b(-2; 1; 2)».

Ловушка:

Ученики считают косинус угла между векторами:

a⋅b=1∗(−2)+(−2)∗1+2∗2=−2−2+4=0!a \cdot b = 1 * (-2) + (-2) * 1 + 2 * 2 = -2 - 2 + 4 = 0!

Если a · b = 0, то cos φ = 0, угол φ = 90° (прямые перпендикулярны).

Но если получилось бы отрицательное число, например cos θ = -0.5:

Угол между векторами равен 120°, а угол между ПРЯМЫМИ равен смежному углу 180° - 120° = 60° (cos 60° = +0.5)!

Всегда помните: косинус угла между прямыми ВСЕГДА НЕОТРИЦАТЕЛЕН: cos φ = |a · b| / (|a||b|)!

Модуль в формуле угла между прямыми

Угол между векторами может быть тупым (до 180°), но угол между пересекающимися или скрещивающимися прямыми всегда острый или прямой [0°; 90°]. В числителе формулы угла между прямыми ВСЕГДА стоит модуль скалярного произведения!

Ваш прогресс по теме25%
Оглавление урока
Шпаргалка формул11 класс
Поверхность цилиндра:
Sбок=2πRh,Sполн=2πR(h+R)S_{бок} = 2\pi R h, \quad S_{полн} = 2\pi R(h + R)[см²]
Поверхность конуса:
Sбок=πRl,Sполн=πR(l+R)S_{бок} = \pi R l, \quad S_{полн} = \pi R(l + R)[см²]
Площадь сферы:
S=4πR2=πD2S = 4\pi R^2 = \pi D^2[см²]
Объем призмы и параллелепипеда:
V=Sосн⋅h,Vпар=abcV = S_{осн} \cdot h, \quad V_{пар} = a b c[см³]
Следующая тема

Уравнение плоскости и прямой в пространстве. Расстояние от точки до плоскости

Перейти к теме →